Échelles longue et courte

On désigne par échelle longue et échelle courte deux systèmes mutuellement incompatibles de noms de grands nombres, qui sont l’un et l’autre utilisés dans une grande partie du monde actuel.

L’échelle longue (ou échelle de Chuquet) est le système dans lequel un billion représente un million de millions ou mille milliards (1012), et l’échelle courte est le système dans lequel un billion représente un millier de millions (109) ou un milliard.

Avec l'échelle courte, la terminaison est toujours ion (à l'exception de mille). Par contre, avec l'échelle longue, il y a une alternance entre -ion et -iard.

Pour éviter la confusion qui résulte de la coexistence des échelles longue et courte dans certaines langues, le Système international d'unités (SI) recommande l'utilisation des préfixes du Système international d'unités qui conservent la même signification quels que soient le pays et la langue. Les échelles longue et courte restent utilisées de facto pour compter la monnaie.

Dans ses traductions, l'Union européenne utilise le terme billion en langue anglaise[1] et le terme milliard en langue française[2] pour désigner les mêmes nombres. Eurostat, dans ses données en langue anglaise, utilise également le terme billion[3].

Origine

Les deux systèmes ont été utilisés en France à différentes époques.

  • Le premier, l’échelle longue, est le système original, tel qu'il a été généralisé par le mathématicien français Chuquet vers la fin du XVe siècle. Il suit ainsi une conception moderne et logarithmique.
  • Le second, l’échelle courte, est le fruit d'anonymes « savants », français eux aussi, qui — au cours du XVIIe siècle, lorsqu'on commença de grouper les nombres décimaux par trois chiffres au lieu de six auparavant — jugeaient nécessaire de réformer le sens même des noms des grands nombres. Cette idée réformiste — très influente jusqu'au XIXe siècle, en France et en Italie, mais nulle part ailleurs en Europe — a été officiellement désavouée par la France dans la seconde moitié du XXe siècle. Néanmoins, notamment aux États-Unis et au Brésil, cette conception particulière fut adoptée officiellement, jusqu'à nos jours.

Dans la quasi-totalité des pays d'Europe et dans le monde, l'échelle longue n'a jamais été remise en cause. Elle y est utilisée aujourd'hui. L'Union européenne et le BIPM la soutiennent.

Pour la plus grande partie des XIXe et XXe siècles, la Grande-Bretagne a utilisé uniformément l'échelle longue, tandis que les États-Unis ont utilisé l'échelle courte. Ainsi, les deux systèmes font souvent (et précisément) référence à un usage respectivement « britannique » et « américain ». Néanmoins, vers la fin du XXe siècle beaucoup de pays anglophones ont pour la plupart universellement adopté l'échelle courte, ainsi les phrases « usage britannique » et « usage américain » sont maintenant trompeuses.

Les termes « échelle longue » et « échelle courte » sont attestés d'abord chez la mathématicienne française Geneviève Guitel dans Histoire comparée des numérations écrites[4].

Repères historiques

  • XIVe siècle : première apparition connue du mot million dans le poème Pierre le laboureur de William Langland (source : History of Mathematics de David Eugene Smith[5]). Dans cette même source il est mentionné la première apparition imprimée dans l'Arithmétique de Trevise (en) encore appelé Art de l'abaque (it) (ou du boulier) en 1478, ainsi que d'autres apparitions en Italie : Borghi 1484, Pelos 1492, Pacioli 1494, et d'autres en France et en Espagne...
  • 1475 : Jehan Adam enregistre les mots « bymillion » et « trymillion » (pour 1012 et 1018).
  • 1484 : le mathématicien Nicolas Chuquet, dans son article « Triparty en la science de nombres » [6], [7], utilise les mots byllion, tryllion, quadrillion, quyllion, sixlion, septyllion, ottyllion et nonyllion pour faire référence à million puissance 2, million puissance 3, million puissance 4, etc. Le travail de Chuquet a eu une faible influence directe parce qu'il ne fut pas publié avant les années 1870,...
  • 1520 : ...mais une grande partie de son œuvre fut copiée (sans référence) par Estienne de La Roche dans son livre daté de 1520, Larismethique nouellement composee par maistre Estienne de La Roche...[8]. Il reprend les termes de Nicolas Chuquet, mais les orthographie billion, trillion, quadrillion, etc.[9]
  • 1532 : Dans l'édition de cette année de son livre De asse et partibus ejus quinq[ue], traité des monnaies et des mesures anciennes, Guillaume Budé, après avoir parlé de myriades et de millions, nous dit : « [...] et ainsi de suite, jusqu'à dix mille fois cent mille. Ceci est dix myriades de myriades, c'est-à-dire un million de millions, que nos étudiants calculateurs appellent d'un seul mot : milliard. »[10]
  • 1549 : Dans son livre L'Aritmétique de Jacques Peletier du Mans, Peletier dit que « Les français ont deux mots numéraux significatifs, l'un au septiesme lieu [= en 7ème position depuis la droite], qui est Million, et l'autre au treziesme lieu, qui est Milliart (sic) »[11]. Comme Guillaume Budé, qu'il cite d'ailleurs plus loin, il donne à ce mot le sens de million de millions . Le mot milliard semble par ailleurs être largement adopté au XVIe siècle en Angleterre, Allemagne, et dans le reste de l'Europe.
  • 1566 ou 1578 : Dans son livre L'Arithmétique de Jan Trenchant, Trenchant cite le mot milliart (pluriel milliars) avec le sens actuel de mille millions[12].
  • 1635 : Dans un livre de commerce[13] publié à Londres, les mots billion, trillion, quatrillion apparaissent avec les sens de l'échelle longue.
  • Au début du XVIIe siècle : En France et en Italie, une minorité de scientifiques changent le sens de « billion » pour 109.[réf. souhaitée]
  • Au début du XVIIIe siècle : Le sens réformé du terme « billion » est apporté aux colonies américaines du Royaume-Uni.[réf. souhaitée]
  • 1739 : Dans ses livres Elémens de géométrie, avec un abrégé d'arithmétique et d'algèbre[14] (1739) puis Elémens de Mathematiques[15](1744), Dominique-François Rivard, parle de milliards, billiards et trilliards,mais avec les sens respectifs de 109, 1012, 1015, ce qui n'est pas encore le sens actuel.
  • 1792 : Leonhard Euler dans son livre L'Arithmétique raisonnée et démontrée: œuvres posthumes[16], reprend les mêmes mots que Rivard et avec les mêmes significations. Il faut donc bien croire que c'était les sens donnés à ces mots dans cette deuxième moitié du XVIIIe siècle.
  • Au début du XIXe siècle : La France est partiellement convertie à l'échelle courte, et suivie par les États-Unis, qui commencent à l'enseigner dans les écoles.
  • XIXe siècle et début du XXe siècle : La plupart des encyclopédies de langue française retiennent l'échelle courte et taisent l'échelle longue originale ou la disent « désormais obsolète ».[réf. souhaitée] Les dictionnaires de cette époque indiquent que billion (dans le sens de mille millions) est usité comme terme d’arithmétique, tandis que milliard est usité dans le langage de la finance[17].
  • 1926 : Dans son Dictionary of Modern English Usage, H. W. Fowler note « Il doit être rappelé que ce mot « billion » n'a pas le même sens dans l'usage américain (qui suit l'usage français de l'époque) que dans l'usage britannique. Pour nous, il signifie la deuxième puissance d'un million, c'est-à-dire un million de millions (1 000 000 000 000) ; pour les Américains, il signifie mille multiplié par lui-même deux fois, ou mille millions (1 000 000 000), ce que nous appelons un milliard. Puisque billion dans notre sens n'est pas utilisé excepté par les astronomes, nous ne nous y conformerons pas. »
  • 1948 : La neuvième Conférence générale des poids et mesures propose de revenir à l'échelle longue[18].
  • 1961 : Le Journal officiel confirme l'usage officiel en France de l'échelle longue[19].
  • 1974 : Le premier ministre britannique Harold Wilson abandonne l'échelle longue pour billion (1012), en expliquant devant la Chambre des communes qu'à partir de maintenant « billion » dans les statistiques gouvernementales britanniques a le sens de l'échelle courte 109, en usage aux États-Unis.
  • 1994 : Le gouvernement italien confirme officiellement l'usage de l'échelle longue pour le terme « billion »[20].
  • Fin du XXe siècle : Sous l'influence américaine, l'usage de l'échelle courte est actuellement devenu courant dans tous les pays anglophones.

Usage actuel

Utilisation des échelles longue et courte par pays.
  • autre système
  • échelle courte
  • les deux échelles
  • échelle longue
  • aucune donnée

Pays utilisant l'échelle courte

Les pays suivants utilisent l'échelle courte :

  • Les États-Unis et depuis quelques décennies, la plupart des pays anglophones — le Canada (sauf en français), le Royaume-Uni, l'Irlande, etc. — ainsi que Porto Rico (un territoire américain hispanophone).
  • Le Brésil, qui parle portugais (avec quelques spécificités régionales), utilise 109 = bilhão, 1012 = trilhão, etc.
  • partiellement : La Grèce qui utilise le terme ekatom-myrio (cent myriades) au lieu du terme « million » : 109 = disekatommyrio (« bi-cent-myriade »), 1012 = trisekatommyrio, (« tri-cent-myriade »), etc.

Système mixte

Plusieurs langues ont conservé un terme apparenté à milliard pour 109, mais utilisent l’échelle courte (trillion, quadrillion etc.) à partir de 1012.

  • Russie ;
  • Ukraine ;
  • Bulgarie ;
  • Roumanie
  • Turquie ;
  • Grèce ;
  • ...

Pays utilisant l'échelle longue

Un billet de banque hongrois de 1946 avec pour valeur nominale 100 millions (« SZÁZMILLIÓ ») de billions de pengő (« B.-PENGŐ »), où « billion » est à interpréter selon l’échelle longue.

Tous les autres pays utilisant le système de dénombrement dérivé du français utilisent l'échelle longue. Exemples :

Le français, l'hébreu et le norvégien milliard, le catalan, le polonais et le roumain miliard, l'allemand Milliarde, l'italien miliardo, l'espagnol millardo, le tchèque miliarda, le néerlandais et le suédois miljard et le finnois miljardi sont tous égaux à 109.

Le français et le danois billion, l'allemand Billion, le suédois billion ou biljon, l'espagnol billón, le portugais (Portugal) bilião, le slovène bilijon, le néerlandais biljoen et le finnois biljoona sont tous égaux à 1012.

Les Canadiens francophones utilisent l'échelle longue, mais le gouvernement canadien recommande (aux francophones, mais pas aux anglophones) d'éviter billion et trillion, et d'utiliser milliard pour 109 et mille milliards pour 1012[21].

Spécificités italiennes

En italien, le mot bilione peut vouloir dire et 109 et 1012, trilione 1012 et (plus rare) 1018 et ainsi de suite. Il est très difficile de les utiliser. Les formes telles que mille miliardi (mille milliards) pour 1012, un milione di miliardi pour 1015, un miliardo di miliardi pour 1018, mille miliardi di miliardi pour 1021 sont beaucoup plus commodes.

Usage français

En France, bien que l'échelle longue soit officielle[19], l'usage reste hésitant.

On trouve ainsi à l'entrée billion du dictionnaire de l'Académie française, 9e édition, la définition suivante :

« n. m. XVe siècle, byllion, « un million de millions » ; XVIe siècle, « mille millions ». Altération arbitraire de l'initiale de million, d'après la particule latine bi-, « deux fois ». Rare. Mille millions. Syn. vieilli de Milliard. Selon un décret de 1961, le mot Billion a reçu une nouvelle valeur, à savoir un million de millions (1012), qui n'est pas entrée dans l'usage. »

Sur le site web d'un quotidien français on peut lire « Cette fois, l'unité de compte est le billion: le millier de milliards »[22], le besoin de définir l'unité est une preuve que le mot est peu usité. L'influence de l'anglais est probablement une des raisons pour lesquelles l'échelle longue n'est pas entrée dans l'usage.

Usage britannique

Le terme « milliard » est maintenant obsolète en anglais britannique, et « billion » ne veut rien dire d'autre que 109 dans tout ce qui a été publié depuis beaucoup d'années maintenant. Le gouvernement britannique et la BBC utilisent l'échelle courte exclusivement. Toute personne qui délibérément utilise billion pour vouloir dire 1012 en anglais britannique est sûre d'être incomprise.

Néanmoins, la compréhension de l'échelle longue persiste.

Usage australien

Une certaine reconnaissance est donnée en Australie à une variante du système échelle longue qui utilise mille million pour vouloir dire 109 et billion pour signifier 1012. Néanmoins, beaucoup de journaux et de publications utilisent aussi l'échelle courte.

Usage indien

Les Indiens (y compris leurs médias) utilisent le plus souvent leur système traditionnel, où les zéros au-delà de trois sont groupés par deux. Le lakh vaut 105 (noté : 1,00,000), le crore vaut 107 (noté : 1,00,00,000). Cependant, ils emploient aussi l'échelle courte, du moins dans les documents destinés à une diffusion à l'étranger. Mais des personnes ayant conservé une éducation britannique peuvent encore employer l'échelle longue, ce qui finalement milite pour la conservation de l'échelle indienne, qui n'a pas d'ambiguïtés.

Approches alternatives

Il existe plusieurs autres méthodes pour identifier les grands nombres, dont certaines construites spécifiquement pour éviter l'ambiguïté entre les 2 échelles :

  • Combinaisons sans ambiguïté du mot million, par exemple : 109 = mille millions ; 1012 = un million de millions ; 1015 = mille millions de millions.
    Ceci devient rapidement difficile pour les nombres supérieurs à 1015.
  • Combinaisons sans ambiguïté du mot milliard, par exemple : 1012 = mille milliards ; 1015 = un million de milliards ; 1018 = un milliard de milliards ; 1021 = mille milliards de milliards.
    Ceci devient rapidement difficile pour les nombres supérieurs à 1021.
  • L'utilisation de l'échelle longue en utilisant seulement les dérivés du milliard pour les nombres au-delà du million, par exemple : 1012 = mille milliards, 1015 = un billiard, 1018 = mille billiards.
  • Les puissances de dix (notation scientifique) sont bien sûr l'approche la plus objective (aucun risque de malentendu), mais tendent à n'être utilisées que dans le contexte scientifique.
  • Les préfixes méga-, giga-, téra-, péta-, exa- conviennent bien pour les unités et sont universels. Malgré tout, ces préfixes ne sont pas de véritables noms de nombres.
  • Les Chinois, les Japonais, ainsi que d'autres pays asiatiques groupent les nombres par puissance de 4 : 104, 108, ...

Noms des grandes puissances de 10

Cette section ne cite pas suffisamment ses sources (avril 2019). 
Pour l'améliorer, ajoutez des références vérifiables [comment faire ?] ou le modèle {{Référence nécessaire}} sur les passages nécessitant une source.

Cette table compare les noms en français du continent européen (dont la France) avec les noms en anglais utilisant les conventions diverses des Américains et Britanniques.

Les noms de base pour la composition sont indiquées en caractères gras (les autres noms s'en déduisent par composition), les noms anglais sont indiqués en caractères italiques.

L'échelle courte (short scale en anglais, maintenant fréquente dans l'usage britannique par contamination) est critiquée pour son manque de cohérence, car le nom ne correspond pas facilement (de façon mnémotechnique) à la puissance de mille (ou de dix) exprimée et introduit de nombreuses ambiguïtés.

À l'inverse, l'échelle longue est fondée sur les puissances du million et leur nom exprime directement cette puissance (et on déduit la puissance de mille ou de dix par simple multiplication par 2 ou 6 du préfixe latin), le suffixe -iard étant aussi utilisé pour multiplier cette puissance par mille et abréger les noms. L'échelle longue (large scale en anglais) couvre une gamme plus étendue de cardinaux, d'où son nom.

Exemple : Combien vaut « un centillion » selon l’échelle longue et selon l’échelle courte ?

  • Échelle longue : (1 million ... (100 fois)) = (106)100 = 10600
  • Échelle courte (anglo-saxonne) : (mille ...(100 fois)) × 1000 = (103)100 × 103 = 10303

Notes :

  • Il n'existe aucune convention largement acceptée pour étendre les cardinaux au-delà du centillion en échelle courte (c'est-à-dire le quinquagintilliard en échelle longue) ou au-delà du centilliard en échelle longue. Aussi on préfère souvent exprimer ces nombres (et même très souvent les nombres au-delà du milliard) à l'aide de puissances de dix.
  • En français (qu'il soit courant ou scientifique), les termes au-delà du milliard sont peu usités, et l'on rencontre beaucoup plus souvent « mille milliards » que « un billion ».
  • Le gogol est le nombre 10100 (un 1 suivi de 100 zéros) et le gogolplex le nombre 10gogol (un 1 suivi d'un gogol de zéros).
Valeur Échelle courte (*) Échelle longue
expression britannique et américaine « moderne » britannique traditionnelle (Chuquet) continentale (Peletier) expression
1001000-1+1oneun1 000 0000,0
101tendix
102hundredcent
10310000+1thousandmille1 000 0000,5
10610001+1million1 000 0001,0
10910002+1billionthousand millionmilliard1 000 0001,5
101210003+1trillionbillion1 000 0002,0
101510004+1quadrillionthousand billionbilliard1 000 0002,5
101810005+1quintilliontrillion1 000 0003,0
102110006+1sextillionthousand trilliontrilliard1 000 0003,5
102410007+1septillionquatrillion / quadrillion1 000 0004,0
102710008+1octillionthousand quadrillionquadrilliard1 000 0004,5
103010009+1nonillionquintillion1 000 0005,0
1033100010+1decillionthousand quintillionquintilliard1 000 0005,5
1036100011+1undecillionsextillion1 000 0006,0
1039100012+1duodecillionthousand sextillionsextilliard1 000 0006,5
1042100013+1tredecillionseptillion1 000 0007,0
1045100014+1quattuordecillionthousand septillionseptilliard1 000 0007,5
1048100015+1quindecillionoctillion1 000 0008,0
1051100016+1sexdecillionthousand octillionoctilliard1 000 0008,5
1054100017+1septendecillionnonillion1 000 0009,0
1057100018+1octodecillionthousand nonillionnonilliard1 000 0009,5
1060100019+1novemdecilliondecilliondécillion1 000 00010,0
1063100020+1vigintillionthousand decilliondécilliard1 000 00010,5
1066100021+1unvigintillionundecillionundécillion1 000 00011,0
1069100022+1duovigintillionthousand undecillionundécilliard1 000 00011,5
1072100023+1trevigintillionduodecillionduodécillion1 000 00012,0
1075100024+1quattuorvigintillionthousand duodecillionduodécilliard1 000 00012,5
1078100025+1quinvigintilliontredecilliontrédécillion1 000 00013,0
1081100026+1sexvigintillionthousand tredecilliontrédécilliard1 000 00013,5
1084100027+1septenvigintillionquattuordecillionquattuordécillion1 000 00014,0
1087100028+1octovigintillionthousand quattuordecillionquattuordécilliard1 000 00014,5
1090100029+1novemvigintillionquindecillionquindécillion1 000 00015,0
1093100030+1trigintillionthousand quindecillionquindécilliard1 000 00015,5
1096100031+1untrigintillionsexdecillionsexdécillion1 000 00016,0
1099100032+1duotrigintillionthousand sexdecillionsexdécilliard1 000 00016,5
10102100033+1tretrigintillionseptendecillionseptendécillion1 000 00017,0
10105100034+1quattuortrigintillionthousand septendecillionseptendécilliard1 000 00017,5
10108100035+1quintrigintillionoctodecillionoctodécillion1 000 00018,0
10111100036+1sextrigintillionthousand octodecillionoctodécilliard1 000 00018,5
10114100037+1septentrigintillionnovemdecillionnonidécillion1 000 00019,0
10117100038+1octotrigintillionthousand novemdecillionnonidécilliard1 000 00019,5
10120100039+1novemtrigintillionvigintillion1 000 00020,0
10123100040+1quadragintillionthousand vigintillionvigintilliard1 000 00020,5
10150100049+1novemquadragintillionquinvigintillion1 000 00025,0
10153100050+1quinquagintillionthousand duovigintillionquinvigintilliard1 000 00025,5
10180100059+1novemquinquagintilliontrigintillion1 000 00030,0
10183100060+1sexagintillionthousand trigintilliontrigintilliard1 000 00030,5
10210100069+1novemsexagintillionquintrigintillion1 000 00035,0
10213100070+1septuagintillionthousand quintrigintillionquintrigintilliard1 000 00035,5
10240100079+1novemseptuagintillionquadragintillion1 000 00040,0
10243100080+1octogintillionthousand quadragintillionquadragintilliard1 000 00040,5
10270100089+1novemoctogintillionquinquadragintillion1 000 00045,0
10273100090+1nonagintillionthousand quinquadragintillionquinquadragintilliard1 000 00045,5
10300100099+1novemnonagintillionquinquagintillion1 000 00050,0
103031000100+1centillionthousand quinquagintillionquinquagintilliard1 000 00050,5
103061000101+1 uncentillionunquinquagintillionunoquinquagintillion1 000 00051,0
103091000102+1 duocentillionthousand unquinquagintillionunoquinquagintilliard1 000 00051,5
...
103601000119+1 nondecicentillonsexagintillion1 000 00060,0
103631000120+1 viginticentillionthousand sexagintillionsexagintilliard1 000 00060,5
...
104201000139+1 novemtriginticentillionseptuagintillion1 000 00070,0
104231000140+1 quadraginticentillionthousand septuagintillionseptuagintilliard1 000 00070,5
...
104801000159+1 novemquinquaginticentillionoctogintillion1 000 00080,0
104831000160+1 sexaginticentillionthousand octogintillionoctogintilliard1 000 00080,5
...
105401000179+1 novemseptuaginticentillionnonagintillion1 000 00090,0
105431000180+1 octoginticentillionthousand nonagintillionnonagintilliard1 000 00090,5
...
106001000199+1 novemnonaginticentillioncentillion1 000 000100,0
106031000200+1 ducentillionthousand centillioncentilliard1 000 000100,5

Références

  1. http://eur-lex.europa.eu/legal-content/EN/TXT/?uri=CELEX%3A52015DC0192.
  2. http://eur-lex.europa.eu/legal-content/FR/TXT/HTML/?uri=CELEX:52015DC0192&from=EN.
  3. http://ec.europa.eu/eurostat/statistics-explained/index.php/Glossary:Billion.
  4. Geneviève Guitel (préf. Charles Morazé), Histoire comparée des numérations écrites, Paris, éd. Flammarion, coll. « Nouvelle bibliothèque scientifique », , 851 p. (ISBN 2-08-211104-0), p. 51-52, puis 566-574, dans le chapitre spécial en annexe nommé « Les grands nombres en numération parlée ».
  5. History of Mathematics, David Eugene Smith, vol 2, p80 disponible dans Google Livre.
  6. Écriture des nombres en français.
  7. Chuquet Triparty Zillions.
  8. disponible sur google livres.
  9. billion.
  10. « [...], et deinceps usq ad decies millies centena millia. Hoc est denas myriadu myriadas, quod uno verbo nostrates abaci studiosi milliardu appellat, quasi millonu millione. » [ De asse et partibus ejus quinq (livre cinquième), 1532, folio 95 - disponible sur google livres ].
  11. [L'arithmétique de Jacques Peletier du Mans (1549) - chap 1er - feuillet II - 6] disponible sur Gallica.
  12. L' Arithmétique de Jan Trenchant - edition 1578 (et probablement aussi 1566) - page 226 disponible sur Google livres.
  13. The Merchants Mirrour: Or, Directions for the Perfect Ordering and Keeping, par Richard Dafforne disponible sur Google livres.
  14. Elémens de géométrie, avec un abrégé d'arithmétique et d'algèbre, Dominique François Rivard, 1739, page v - disponible sur Google livres disponible sur Gallica.
  15. Elémens de Mathematiques, Dominique François Rivard, 1744, page vi - disponible sur Google livres.
  16. L'Arithmétique raisonnée et démontrée: œuvres posthumes par Leonhard Euler, 1792 - page 5 ou 6 disponible sur Gallica et sur Google livres.
  17. Dictionnaire de l’Académie française, 5e, 6e et 8e éditions (1798, 1835, 1932-35) ; Émile Littré, Dictionnaire de la langue française (1972-77) : billion, milliard.
  18. Comptes rendus des séances de la 9e Conférence générale des poids et mesures réunie à Paris en 1948 - p71.
  19. Décret 61-501, page 14 (annexe), note 3A.
  20. Direttiva CE 1994 n. 55, page 12.
  21. (en) « La banque de données terminologiques et linguistiques du gouvernement du Canada. », Gouvernement du Canada, (consulté le 17 janvier 2016) .
  22. Lorraine Millot, « L'Allemagne mijote la première banque mondiale. La Deutsche et la Dresdner préparent une alliance. », Libération, (ISSN 0335-1793, lire en ligne).

Liens externes

  • Portail des mathématiques
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.