Élément absorbant

En mathématiques (algèbre), un élément absorbant (ou élément permis) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par cette loi.

Définition

Soit un magma. Un élément de est dit :

  • absorbant à gauche si ;
  • absorbant à droite si ;
  • absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.

Propriétés

Dans un magma

  • Dans un magma , l'élément absorbant, s'il existe :
    • est unique : si et sont deux éléments absorbants, ;
    • est idempotent : si est absorbant, .
  • Si un magma a un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, ces deux éléments sont égaux et le magma a un élément absorbant. En effet, si est absorbant à gauche et absorbant à droite, alors .
  • Plusieurs éléments absorbants à gauche ou à droite peuvent exister dans un magma donné, mais s'il existe plus d'un élément absorbant à gauche, il n'en existe aucun à droite. En effet, supposons et deux éléments absorbants à gauche, et un élément absorbant à droite: . Par symétrie, s'il existe plus d'un élément absorbant à droite, il n'en existe aucun à gauche.

Dans un anneau

Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre 0 de + est absorbant pour ×.

En effet, pour tous x, yA :

  • (x × y) + 0 = x × y = (x + 0) × y (car 0 est neutre pour +), donc
  • (x × y) + 0 = (x × y) + (0 × y) (car × est distributive par rapport à +), donc
  • 0 = 0 × y (car + est régulière, comme toute loi de groupe)

et (de même) :

  • 0 = y × 0.

Exemples

Voir aussi

  • Portail de l’algèbre
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