Élément symétrique

En mathématiques, la notion d'élément symétrique généralise les concepts d'opposé en rapport avec l'addition et d'inverse en rapport avec la multiplication.

Définition

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne admettant un élément neutre . Soient deux éléments et de E.

  • Si , est dit élément symétrique à gauche de et est dit élément symétrique à droite de .
  • Si , est dit élément symétrique de .

Un élément de E qui admet au moins un symétrique à droite est dit symétrisable à droite ; s'il admet au moins un symétrique à gauche, il est dit symétrisable à gauche ; s'il admet au moins un élément symétrique, il est dit symétrisable.

Propriétés

Dans le cas où la loi de composition interne du groupe est associative et que possède un élément neutre pour cette loi, on a les propriétés suivantes :

  • Si un élément c possède un symétrique, alors c est à fortiori régulier. Plus précisément, si c est symétrisable à gauche, alors c est régulier à gauche. De même, si c est symétrisable à droite, alors c est régulier à droite. En effet, dans le cas par exemple où c est symétrisable à droite :

  • Si un élément a possède à la fois un symétrique à gauche et un symétrique à droite, alors les deux symétriques sont égaux. Notons b le symétrique à gauche de a et c le symétrique à droite de a :

Exemples

  • Tout nombre réel possède un symétrique pour l'addition, noté . Tout nombre réel non nul possède un symétrique pour la multiplication, noté .
  • Si est un anneau unitaire alors est un monoïde, dont le groupe des éléments symétrisables est appelé le groupe des inversibles de l'anneau et noté ou .
  • Si E est l'anneau des matrices carrées de taille fixée à coefficients dans un corps, son groupe des inversibles est le groupe linéaire, constitué des matrices de déterminant non nul. Si le déterminant d'une matrice est nul, elle ne possède aucun symétrique, à gauche comme à droite ; l'existence d'un symétrique à gauche ou à droite implique dans ce cas l'existence d'un symétrique.
  • De façon générale, une matrice carrée sur un anneau commutatif A est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans A.

Voir aussi

Inverse (homonymie) 

  • Portail de l’algèbre
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