4-polytope régulier convexe

Un polytope régulier convexe à 4 dimensions (ou polychore) est un objet géométrique, analogue en 4 dimensions des solides de Platon de la géométrie en 3 dimensions et des polygones réguliers de la géométrie en 2 dimensions.

Un hypercube.

Ces polytopes furent décrits la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIXe siècle. Schläfli découvrit qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.

Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leurs côtés de manière régulière.

Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle ; leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.

Propriétés

Caractéristiques

Le tableau suivant résume les caractéristiques principales des polychores réguliers :

PolychoreSymbole de SchläfliSommetsArêtesFacesCellulesFigure de sommetDualGroupe de CoxeterOrdre
Pentachore {3,3,3}51010
(triangles)
5
(tétraèdres)
Tétraèdre(Lui-même)A4120
Tesseract {4,3,3}163224
(carrés)
8
(cubes)
TétraèdreHexadécachoreB4384
Hexadécachore {3,3,4}82432
(triangles)
16
(tétraèdres)
OctaèdreTesseractB4384
Icositétrachore {3,4,3}249696
(triangles)
24
(octaèdres)
Cube(Lui-même)F41 152
Hécatonicosachore {5,3,3}6001 200720
(pentagones)
120
(dodécaèdres)
TétraèdreHexacosichoreH414 400
Hexacosichore {3,3,5}1207201 200
(triangles)
600
(tétraèdres)
IcosaèdreHécatonicosachoreH414 400

Dimensions

Le tableau suivant résume certaines propriétés géométriques des polychores réguliers :

Dans les formules, φ est le nombre d'or et l'arête est de longueur unité.

PolychoreVSRrθ
Pentachore
Tesseract
Hexadécachore
Icositétrachore
Hécatonicosachore
Hexacosichore

Représentations

Le tableau suivant recense quelques projections particulières des polychores.

PolychoreSymbole de SchläfliDiagramme de Coxeter-DynkinPolygone de PetrieProjection orthographique solideDiagramme de SchlegelProjection stéréographique
Pentachore {3,3,3}
Tétraèdre
Tesseract {4,3,3}
Cube
Hexadécachore {3,3,4}
Cube
Icositétrachore {3,4,3}
Cuboctaèdre
Hécatonicosachore {5,3,3}
Triacontaèdre rhombique tronqué
Hexacosichore {3,3,5}
Pentaki-icosidodécaèdre

Liste

Pentachore

Un pentachore en rotation.

Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.

Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraédrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.

Ses éléments sont :

  • 5 sommets
  • 10 arêtes
  • 10 faces triangulaires
  • 5 cellules tétraédriques

Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie . Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Tesseract

Un hypercube en rotation.

C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.

Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.

Ses éléments sont :

  • 16 sommets
  • 32 arêtes
  • 24 faces carrées
  • 8 cellules cubiques

Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie . Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Hexadécachore

Un hyperoctaèdre en rotation.

C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.

Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.

Ses éléments sont :

  • 8 sommets
  • 24 arêtes
  • 32 faces triangulaires
  • 16 cellules tétraédriques

Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.

Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie . Sa figure de sommet est un octaèdre.

Icositétrachore

Un octaplexe en rotation.

Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.

Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.

Ses éléments sont :

  • 24 sommets
  • 96 arêtes
  • 96 faces triangulaires
  • 24 cellules octaèdriques

Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie . Sa figure de sommet est un cube.

Hécatonicosachore

Un dodécaplexe en rotation.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.

Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.

Ses éléments sont :

  • 600 sommets
  • 1200 arêtes
  • 720 faces pentagonales
  • 120 cellules dodécaèdriques

Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est . Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Hexacosichore

Un tétraplexe en rotation.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.

Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.

Ses éléments sont :

  • 120 sommets
  • 720 arêtes
  • 1200 faces triangulaires
  • 600 cellules tétraédriques

Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est . Sa figure de sommet est un icosaèdre.

Voir aussi

Liens externes

Bibliographie

  • (en) H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry [détail des éditions]
  • (en) H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3e éd., Dover Publications, 1973 (ISBN 978-0-486-61480-9)
  • (en) D. M. Y. Sommerville (en), An Introduction to the Geometry of n Dimensions, New York, E. P. Dutton, 1930 (Dover Publications, 1958), chap. X (« The Regular Polytopes »)
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