Affinité (mathématiques)

En mathématiques, en géométrie en particulier, une affinité est une application affine ou linéaire égale à l'identité dans une direction et à une homothétie dans une autre.

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Affinité vectorielle

Construction d'une affinité

Les affinités vectorielles sont les endomorphismes qui sont somme directe de l'identité et d'une homothétie. Plus précisément :

Soit un espace vectoriel et deux sous espaces supplémentaires et () ;

l'affinité de base (ou sur ), de direction et de rapport est l'unique endomorphisme qui se restreint à en l'identité, et à en l'homothétie de rapport  :

Si alors .

Caractérisation en dimension finie : endomorphisme diagonalisable ayant deux valeurs propres au plus dont une est l'unité.

Les affinités recouvrent :

  • l'identité ()
  • les projections, ou projecteurs ()
  • les symétries, ou involutions linéaires (), (se réduisant à l'identité si la caractéristique du corps est 2)
  • les homothéties ( )
  • les dilatations, ou affinités hyperplanes, ().

Affinité ponctuelle

Étant donné un sous-espace affine d'un espace affine associé à et une direction supplémentaire , l'affinité de base (ou sur ) de direction et de rapport est l'application définie par la construction :

  1. pour tout point dans on trace l'unique sous-espace passant par et de direction ;
  2. coupe en un point unique ;
  3. l'image de par est alors le point tel que .

Les applications affines de partie linéaire une affinité vectorielle sont des affinités ponctuelles à condition d'avoir au moins un point fixe. Dans le cas général, on obtient des affinités glissées, composées d'une affinité ponctuelle et d'une translation de vecteur parallèle à la base de l'affinité ponctuelle.

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