Angles d'Euler

Les trois angles d'Euler sont couramment notés ψ, θ et φ.

Ce sont les trois rotations obtenues en changeant un des trois angles d'Euler et en gardant les deux autres constants. Ces trois rotations sont la précession, la nutation et la rotation propre. On passe du référentiel fixe (O,x,y,z) au référentiel lié au solide (O,x',y’,z’) par trois rotations successives.

• La précession ${\displaystyle \psi }$, autour de l'axe Oz, fait passer de (O,x,y,z) au référentiel (O,u,v,z) (en bleu).

• La nutation ${\displaystyle \theta }$, autour de l'axe Ou (ligne des nœuds), fait passer de (O,u,v,z) à (O,u,w,z’) (en vert).

• La rotation propre ${\displaystyle \varphi }$, ou giration, autour de l'axe Oz’, fait passer de (O,u,w,z’) au référentiel lié au solide (O,x’,y’,z’) (en rouge).

NB. L'axe Ou est porté par l'intersection des plans Oxy et Ox'y'

On peut également passer du référentiel fixe Oxyz au référentiel lié au solide Ox’y’z’ par les trois rotations successives suivantes, ayant toutes leurs axes fixes dans le référentiel initial :

• Une rotation d'angle ${\displaystyle \varphi }$ d'axe Oz,
• Une rotation d'angle ${\displaystyle \theta }$ d'axe Ox,
• Une rotation d'angle ${\displaystyle \psi }$ d'axe Oz

Les coordonnées ${\textstyle (x'_{1},y'_{1},z'_{1})_{(Ox'y'z')}}$ d'un point dans le référentiel mobile ${\displaystyle (Ox'y'z')}$ sont reliées aux coordonnées ${\textstyle (x_{1},y_{1},z_{1})_{(Oxyz)}}$ de ce même point dans le référentiel fixe ${\displaystyle (Oxyz)}$ par la relation suivante[3] :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}_{Oxyz}=[A]{\begin{pmatrix}x'_{1}\\y'_{1}\\z'_{1}\end{pmatrix}}_{Ox'y'z'}}$ avec la matrice de passage ${\displaystyle [A]={\begin{pmatrix}\cos(\psi )\cos(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\theta )\sin(\varphi )&-\cos(\psi )\sin(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\theta )\cos(\varphi )&\sin(\psi )\sin(\theta )\\\sin(\psi )\cos(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\theta )\sin(\varphi )&-\sin(\psi )\sin(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\theta )\cos(\varphi )&-\cos(\psi )\sin(\theta )\\\sin(\theta )\sin(\varphi )&\sin(\theta )\cos(\varphi )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}}$

On s'intéresse seulement ici à la description du mouvement du solide en rotation quelconque autour du point O, qui peut être un point fixe du solide dans le référentiel de référence Oxyz ou le centre de masse. Les angles d'Euler sont choisis de façon à permettre une mémorisation simple de la construction du vecteur rotation instantané du solide, nécessaire à l'étude de la cinématique du solide. Le vecteur rotation instantané du solide est en effet donné par la simple somme :

${\displaystyle {\vec {\Omega }}={\dot {\psi }}\,{\vec {z}}+{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}+{\dot {\varphi }}\,{\vec {z'}}}$,

où les vecteurs apparaissant dans le membre de droite sont les vecteurs unitaires des axes correspondants. On remarquera que l'expression simple précédente utilise une base non orthogonale.

L'utilisation des angles d'Euler est très générale en mécanique et en astronomie, par exemple pour décrire le mouvement du gyroscope.

Figures de pôles représentant la texture cristalline d'un alliage gamma-TiAl[4].

En science des matériaux, les angles d'Euler sont utilisés pour décrire l'orientation cristalline (orientation d'un cristallite par rapport aux axes de l'échantillon), notamment dans le domaine de la texture (orientation préférentielle). Les angles sont alors en général[5] notés (φ₁,Φ, φ₂) avec :

• φ₁ = ψ
• Φ = θ
• φ₂ = φ

On utilise parfois une autre variante dans laquelle la seconde rotation (nutation) se fait selon l'axe Ov au lieu de Ou ; les angles sont alors notés (Ψ, Θ, Φ) sans que cela ait un rapport avec les notations des mécaniciens, ce qui n'est pas sans risque de confusion.