Calcul de la date de Pâques selon la méthode de Conway

La méthode canonique de calcul de la date de Pâques grégorienne est extrêmement complexe. De nombreux mathématiciens, à partir du XVIIIe siècle et à la suite de Gauss tentèrent de mettre au point des méthodes plus simples. Ces recherches se sont poursuivies jusqu'aux années 1980. Parmi les méthodes récentes, l'intérêt principal de l'algorithme de Conway est d'introduire une présentation nouvelle du calcul de la date de Pâques grégorienne à l'aide du concept de "Jour-pivot" :

Il existe chaque année une série de dates mensuelles qui tombent toutes le même jour de la semaine. Cette série de dates est constante pour les dix derniers mois de l'année et varie pour janvier et février selon que l'année est ou non bissextile. Pour les années normales, cette série de dates est : (31/01, 28/02, 7/03, 4/04, 9/05, 6/06, 11/07, 8/08, 5/09, 10/10, 7/11, 12/12) et pour les années bissextiles, le 31/01 devient le 1/02 et le 28/02 devient le 29/02[Note 1]. De plus les jours-pivot séculaires suivent un cycle de 400 ans. Conway utilise ces propriétés pour déterminer la Lune pascale et le dimanche de Pâques.

La méthode n'est toutefois pas aussi originale qu'il y paraît : en réalité, les jours-pivots se déduisent facilement de la lettre dominicale par la relation :

JP = (3 - L) mod 7
avec JP : jour-pivot ; L : Lettre dominicale (A, ..., G) avec
A = 1 ; B = 2 ; ... ; G = 0.

Les contrôles effectués par ordinateur prouvent que la méthode, dans la présentation qui en est donnée ci-dessous, est exacte et donne les mêmes résultats que l'algorithme de Meeus pour un cycle de 5 700 000 ans à partir de 1583.

Cet article présente de façon détaillée de calcul de la date de Pâques selon la méthode de Conway pour le calendrier grégorien. Cette description est rédigée sous forme algorithmique, n'utilisant que des opérations arithmétiques élémentaires[Note 2] et sans référence à quelque langage de programmation que ce soit. L'utilisateur qui désire programmer cet algorithme devra rechercher les instructions appropriées dans le langage qu'il utilise[Note 3]. Le calcul de cet algorithme ne nécessite nulle programmation compliquée : l'usage d'un simple tableur est suffisant. Quoique cette méthode de calcul aient fait l'objet de vérifications minutieuses, elle est, en tout état de cause, fournie en l'état : il appartient à l'utilisateur de s'assurer de son exactitude et de son adéquation à ses usages.

Calcul de la date de Pâques grégoriennes en calendrier grégorien

L'algorithme de Conway présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indications de ce site et quelques améliorations de présentation pour le calcul des jours pivots séculaires (trois premières lignes de l'algorithme) et les conditions sur l'épacte (trois dernières lignes).

Pour Année ≥ 1583[1] :
Date de Pâques grégorienne (Algorithme de Conway)
Dividende Diviseur Quotient Reste Expression Explication
Année100sts : année séculaire, t : millésime
t4aTerme bissextil
s4p
9 - 2*p7jpsjour-pivot séculaire [Note 4].
jps + t + a7jpjour-pivot de l'année courante
Année19g
G = g + 1Cycle de Méton
s4bMétemptose
8 (s + 11)25rProemptose
C = -s + b + rCorrection séculaire
11 G + C30d
d + 3030dPleine Lune pascale[Note 5].
551 - 19 d + G544hCorrection des exceptions à l'épacte[Note 6].
50 - d - h7eÉcart de la Pleine Lune pascale au Jour-pivot
e + jp7fJour de la Pleine Lune pascale
R = 57 - d - f - hDimanche de Pâques
R est la date de Pâques en jours de mars
Si R ≤ 31 alors
Mois = mars
Quantième = R
sinon
Mois = avril
Quantième = R - 31

Exemple

Exemple pour l'année 2006
Date des Pâques grégoriennes pour 2006 ( Algorithme de Conway)
Dividende Valeur
Dividende
Diviseur Valeur
Diviseur
Quotient Valeur
Quotient
Reste Valeur
Reste
Expression Valeur
Expression
Année2006100100s20t6
t644a1
s2044p0
9 - 2*p977jps2
jps + a + t977jp2
Année20061919g11
G = g + 112
s2044b5
8 (s + 11)2482525r9
C = -s + b + r-6
11 G + C1263030d6
d + 30363030d6
551 - 19 d + G449544544h0
50 - d - h4477e2
e + jp477f4
R = 57- d - f - h47
Puisque R > 31 :
Mois = avril
Quantième = R - 31 = 16
Pâques est le

Notes et références

Notes

  1. Pour plus de détails, voir l'article Calcul de la date de Pâques
  2. Voir le section Mise en œuvre informatique de la division euclidienne
  3. Attention : les fonctions intégrées des langages de programmation pour l'arithmétique entière ne donnent pas toujours les résultats escomptés. Il faut être très vigilant à ce sujet. Voir à ce propos la section Mise en œuvre informatique de la division euclidienne.
  4. Les lignes de calcul précédentes permettent le calcul du Jour-pivot séculaire sans recourir à une table, comme le font la plupart des sources, ce qui simplifie la programmation de l'algorithme.
  5. Cette seconde ligne de calcul de la variable d assure que celle-ci est positive même si le dividende "11 G + C" est négatif. Cette ligne n'est pas rigoureusement nécessaire si l'on respecte scrupuleusement la définition de la division euclidienne lorsque le dividende est négatif. Elle a été ajoutée à titre de sécurité en cas de programmation maladroite.
  6. Les exceptions aux épactes 24, 25 et XXV sont habituellement traitées dans les sources sous forme d'instructions conditionnelles. On la traite ici sous forme du calcul d'une variable h, valant 0 ou 1, à ajouter à l'épacte, qui assure la même correction que les instructions conditionnelles. Ce mode de traitement facilite la programmation de l'algorithme.

Références

  1. L'algorithme de Conway présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indications de ce site et quelques améliorations de présentation pour le calcul des jours pivots séculaires (trois premières lignes de l'algorithme) et les conditions sur l'épacte (trois dernières lignes).

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