Catégorie monoïdale tressée

En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute un analogue de la notion de commutativité.

Définition formelle

Soit une catégorie monoïdale. On note le produit tensoriel opposé à , c'est-à-dire le bifoncteur défini par . On appelle tressage sur un isomorphisme naturel de vers . Autrement dit, pour tous objets de , induit un isomorphisme

Représentation des groupes de tresses

Une catégorie monoïdale tressée est dite symétrique si, de plus, .

Si est un objet de , quitte à fixer un parenthésage (puisque le produit tensoriel n'est associatif qu'à isomorphisme près), cela a un sens de considérer l'objet . Puisque les sont tous égaux à , on a en particulier

où il s'agit cette fois ci d'une véritable égalité et non d'un isomorphisme. Par ailleurs, induit un isomorphisme

Ainsi, les applications pour peuvent être considérées comme des éléments du groupe des automorphismes de . On en déduit qu'il existe un morphisme de groupes

qui envoie sur .

Article connexe

Produit tensoriel de deux modules

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