Connexion (mathématiques)

En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite. Cette notion a été développée au début des années 1920 par Élie Cartan et Hermann Weyl (avec comme cas particulier celle de connexion affine), puis reformulée en 1951 par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul.

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Transport parallèle sur une sphère

Connexion de Koszul

La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les fibrés vectoriels, et utilisée par Katsumi Nomizu en 1954[1].

Cet opérateur fait correspondre à toute section globale s d'un fibré vectoriel E de base B, et à tout champ de vecteurs sur B, une section globale notée vérifiant :

  1. L'application est -linéaire ; autrement dit, pour toute fonction régulière , on a :
    .
  2. la relation de Leibniz :
    .

La relation de Leibniz démontre que la valeur de en un point b de B ne dépend que des variations de au voisinage de b. La -linéarité implique que cette valeur ne dépend que de . Intuitivement, la notion de connexion a pour but de généraliser aux variétés différentielles la notion de dérivée suivant un vecteur, la quantité pouvant être interprétée comme la dérivée de s dans la direction X.

Connexion d'Ehresmann

Les connexions d'Ehresmann sont des généralisations aux fibrés des connexions de Koszul. De façon plus précise, une connexion d'Ehresmann sur E est un sous-fibré régulier H de TE, le fibré tangent de E.

Connexion de Levi-Civita

Une métrique riemannienne g de classe sur une variété différentielle M étant donnée, il existe une unique connexion de Koszul ∇ sur , appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les deux conditions :

  1. ∇ est sans torsion (en) : pour tous champs de vecteurs et ,
    ;
  2. est parallèle : pour tous champs de vecteurs , et , on a :
.

Voir aussi

Notes et références

Note

  1. (en) Katsumi Nomizu, Invariant affine connections on homogeneous spaces, dans Amer. J. Math., vol. 76, 1954, p. 33-65

Références

  • (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [détail de l’édition]
  • (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition]
  • Portail de la géométrie
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