Constante de Catalan

En mathématiques, la constante de Catalan, nommée d'après le mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par : [1] est la fonction bêta de Dirichlet.

Pour les articles homonymes, voir Catalan (homonymie).

On ne sait pas si la constante est rationnelle ou irrationnelle.

Autres expressions

La constante de Catalan est aussi égale à :

Expressions intégrales

  • est l'intégrale elliptique complète de première espèce
  • est l'intégrale elliptique complète de deuxième espèce

Développements en série

Cette constante peut être aussi définie par la fonction de Clausen : , ce qui nous donne les formules suivantes :

  • ,
  • ,
  • .

Puisque est l'image de 2 par la fonction beta, nous avons donc un lien avec le polylogarithme : , ou aussi : .

Utilisation

K apparaît en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la fonction trigamma (en) : , .

Simon Plouffe donne une famille infinie d'identités entre la fonction trigamma, et la constante de Catalan.

K apparaît aussi dans la loi sécante hyperbolique.

Séries convergeant rapidement

Les deux formules suivantes convergent rapidement vers K et sont donc ainsi appropriées pour le calcul numérique :

et .

Les calculs théoriques pour une telle série sont donnés par Broadhurst[2].

Décimales connues

Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques[3].

Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan
Date Décimales Calculé par
200931 026 000 000R. Shan et A. J. Yee
Octobre 20065 000 000 000Shigeru Kondo[4]
2002201 000 000Xavier Gourdon et Pascal Sebah
2001100 000 500Xavier Gourdon et Pascal Sebah
4 janvier 199812 500 000Xavier Gourdon
19973 379 957Patrick Demichel
19961 500 000Thomas Papanikolaou
29 septembre 1996300 000Thomas Papanikolaou
14 août 1996100 000Greg J. Fee et Simon Plouffe
199650 000Greg J. Fee
199020 000Greg J. Fee
191332James W. L. Glaisher
187720James W. L. Glaisher

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Catalan's constant » (voir la liste des auteurs).
  1. Pour plus de décimales, voir la suite A006752 de l'OEIS.
  2. (en) D. J. Broadhurst, Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5), arXiv : math.CA/9803067, 1998.
  3. (en) Constants and Records of Computation sur le site de X. Gourdon et P. Sebah.
  4. (en) Value of Catalan constant sur le site de Shigeru Kondo.

Voir aussi

Bibliographie

  • E. Catalan, « Mémoire sur la transformation des séries, et sur quelques intégrales définies : Extrait par l'auteur », CRAS, vol. 59, , p. 618-620 (lire en ligne)
  • (en) Henri Cohen, Number Theory, vol. II : Analytic and Modern Tools, New York, Springer, , 596 p. (ISBN 978-0-387-49893-5, lire en ligne), p. 127
  • François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983 puis 1999 (ISBN 2-7056-1407-9)
  • (en) H. M. Srivastava et Choi Junesang, Series Associated With the Zeta and Related Functions, KluwerAcademic, , 388 p. (ISBN 978-0-7923-7054-3, lire en ligne), p. 30
  • (en) D.M. Bradley, Representations of Catalan's constant, KluwerAcademic, (lire en ligne)

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Catalan's Constant », sur MathWorld

  • Arithmétique et théorie des nombres
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