Coq (logiciel)

Coq est un assistant de preuve utilisant le langage Gallina, développé par l'équipe PI.R2 d'Inria au sein du laboratoire PPS du CNRS et en partenariat avec l'École polytechnique, le CNAM, l'Université Paris Diderot et l'Université Paris-Sud (et antérieurement l'École normale supérieure de Lyon).

Pour les articles homonymes, voir Coq (homonymie).
Coq
Informations
Développé par INRIA, Université Paris Diderot, École polytechnique, Université Paris-Sud, École normale supérieure de Lyon
Première version
Dernière version 8.11.0 ()[1]
Dépôt Coq sur GitHub
État du projet  En développement actif
Écrit en OCaml
Système d'exploitation Multiplateforme
Environnement Multiplate-forme
Langues Anglais
Type Assistant de preuve
Politique de distribution Gratuit et open source
Licence GNU LGPL 2.1
Site web http://coq.inria.fr

Le nom du logiciel (initialement CoC) est particulièrement adéquat car : il est français ; il est fondé sur le calcul des constructions (CoC abrégé en anglais) introduit par Thierry Coquand. Dans la même veine, son langage est Gallina et Coq possède un wiki dédié, baptisé Cocorico!.

Coq a été récompensé du ACM SIGPLAN Programming Languages Software 2013 Award.

Historique du projet

Au début des années 80, Gérard Huet initie un projet de fabrication d’un démonstrateur interactif de théorème. Il s'agit d'un assistant de preuve. Thierry Coquand et Gérard Huet ont conçoivent la logique de Coq et le calcul des constructions. Christine Paulin-Mohring étend cette logique avec une nouvelle construction, les types inductifs et un mécanisme d’extraction qui permet d’obtenir automatiquement un programme zéro défaut à partir d’une preuve[2].

Caractéristiques du logiciel

Coq est fondé sur le calcul des constructions, une théorie des types d'ordre supérieur, et son langage de spécification est une forme de lambda-calcul typé. Le calcul des constructions utilisé dans Coq comprend directement les constructions inductives, d'où son nom de calcul des constructions inductives (CIC).

Coq a été récemment doté de fonctionnalités d'automatisation croissantes. Citons notamment la tactique Omega qui décide l'arithmétique de Presburger[3].

Plus particulièrement, Coq permet :

  • de manipuler des assertions du calcul ;
  • de vérifier mécaniquement des preuves de ces assertions ;
  • d'aider à la recherche de preuves formelles ;
  • de synthétiser des programmes certifiés à partir de preuves constructives de leurs spécifications.

C'est un logiciel libre distribué selon les termes de la licence GNU LGPL.

Parmi les grands succès de Coq, on peut citer :

Éléments du langage

Coq utilise la correspondance de Curry-Howard. La preuve d'une proposition est vue comme un programme dont le type est cette proposition. Pour définir un programme ou une preuve, il faut:

  • Soit l'écrire dans le langage Gallina, proche du langage de programmation fonctionnelle OCaml.
  • Soit déclarer son type (ou la proposition que l'on veut démontrer). Le langage Ltac permet alors de définir cette preuve/programme par chaînage arrière, de façon interactive. Cette méthode est privilégiée pour les preuves mathématiques car Coq est alors capable de deviner certaines étapes intermédiaires.

Il est aussi possible d'utiliser SSReflect à la place de Ltac. Autrefois développé séparément, il est maintenant inclus par défaut dans Coq.

Exemples de programmes

  • La fonction factorielle (avec Gallina):
Require Import Arith List Bool.

Fixpoint factorielle (x : nat) : nat :=
match x with
0 => 1
| S p => x * factorielle( p )
end.


  • La fonction factorielle (avec Ltac):
Require Import Arith List Bool.

Definition factorielle: forall n:nat, nat.
(* on nomme l'argument *)
intro n.
(* on fait une définition par récurrence*)
induction n.
* (* si l'argument est 0, on retourne 1*)
  apply 1%nat.
* (* si l'argument de la forme (S n), on retourne un produit *)
  apply Nat.mul. 
  - (* 1er facteur du produit: valeur de factorielle en n *)
    apply IHn.
  - (* 2e facteur du produit: le successeur de n *)
    apply S.
    + apply n.
(*On indique que la définition est terminée et que l'on souhaite pouvoir calculer cette fonction. *)
Defined.

Exemple de démonstration (avec Ltac)

  • Tout entier naturel est soit pair, soit impair.
Require Import Omega.

Lemma odd_or_ind: forall n : nat,
                  (exists p:nat, n=2*p) \/ (exists p:nat, n = 1 + 2 * p).
Proof.
    induction n.
    - (* cas 0 *) left. exists 0. trivial.
    - (* cas (n + 1) *)
      destruct IHn as [[p Hpair] | [p Himpair]].
      + (* n pair *)
        right. exists p. omega.
      + (* n impair *)
        left. exists (p + 1). omega.
(* On indique que la preuve est terminée et qu'elle ne sera pas utilisée comme un programme.*)
Qed.

Notes et références

  1. « Release 8.11.0 », (consulté le 31 janvier 2020)
  2. binaire, « Christine Paulin et les Logiciels Zéro Défaut », sur binaire, (consulté le 18 mars 2020)
  3. L'arithmétique de Presburger, contrairement à l'arithmétique usuelle due à Peano, est une théorie complète, c'est-à-dire que pour tout énoncé de son langage on peut décider si c'est un théorème de la théorie ou non (sa négation étant alors théorème). Cette arithmétique de Presburger, qui n'a pas d'axiome pour la multiplication, échappe donc à l'incomplétude énoncée par théorème d'incomplétude.
  4. (en) « Feit-Thompson theorem has been totally checked in Coq », Msr-inria.inria.fr, (consulté le 25 septembre 2012).

Voir aussi

Liens externes

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