Courbe de Lissajous

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Pour les articles homonymes, voir Lissajous.
Courbe de Lissajous.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

Définition

Courbe de Lissajous obtenue sur un oscilloscope.

Une courbe de Lissajous peut toujours être définie par l'équation paramétrique suivante :


et .

Le nombre n est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme et l'équation paramétrique de la courbe devient :



et .

Propriétés

  • Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [–a, a]×[–b ,b].
  • Si n est rationnel,
    • la courbe est une courbe algébrique (unicursale) de degré 2q si pour p impair ou pour p pair.
    • la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si pour p impair ou pour p pair.
  • Si n est un entier pair et , ou si n est un entier impair et , la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev.

Cas particuliers

  • Si n = 1, la courbe est une ellipse.
    • Si a = b et , cette ellipse est un cercle.
    • Si , cette ellipse est un segment de droite.
  • Si a = 2b et n = q = 2 (donc p = 1), la courbe est une besace.
    • Si , cette besace est une portion de parabole.
    • Si , cette besace est une lemniscate de Gerono.

Voici quelques exemples de tracés avec et a = b.

Liens avec d'autres courbes

Les courbes de Lissajous sont des projections de couronnes sinusoïdales sur un plan parallèle à l'axe de symétrie.

Applications

Cette section ne cite pas suffisamment ses sources (avril 2012). 
Pour l'améliorer, ajoutez des références vérifiables [comment faire ?] ou le modèle {{Référence nécessaire}} sur les passages nécessitant une source.

Les courbes de Lissajous ont différentes applications :

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Julio Castiñeira Merino, « Lissajous Figures and Chebyshev Polynomials », The College Mathematics Journal (en), vol. 32, no 2, , p. 122-127 (lire en ligne)
  • Francisco Gomes Teixeira, Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, (1re éd. 1905-1915) (lire en ligne), chap. III.12 (« Sur les courbes de Lissajous »), p. 225-230

Liens externes

  • Portail de la géométrie
  • Portail de l’électricité et de l’électronique
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.