Décomposition polaire

La décomposition polaire est un outil fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes.

Décomposition polaire d'une matrice réelle

En particulier, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive.

  • Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives :

En particulier, toute matrice réelle se décompose en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique positive (mais pas nécessairement de façon unique).

Décomposition polaire d'une matrice complexe

  • Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

En particulier, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne définie positive.

  • Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :

Remarque. Pour n=1, on retrouve l'écriture d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.

Application

L'ensemble des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives est un cône ouvert convexe, donc est contractile. Il en résulte que a le même type d'homotopie que et que a le même type d'homotopie que .

Références

  • Rached Mneimné et Frédéric Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques [détail des éditions] p. 18–20
  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions] p. 48 et 330 de l'éd. 2010 : « Décomposition de Cartan du groupe linéaire »

Voir aussi

  • Portail de l’algèbre
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