Delta-anneau

Un δ-anneau (lire delta-anneau) est un système d'ensembles dont la définition est un peu plus générale que celle des σ-algèbres (ou « tribus »). Il est possible de présenter dans ce formalisme alternatif une partie de la théorie de la mesure, plus souvent exposée dans le cadre des tribus. Ce choix a l'intérêt de permettre d'éviter l'introduction de parties de mesure infinie.

Définition[1]  Un δ-anneau sur un ensemble X est un anneau d'ensembles sur X stable par intersection dénombrable.

  • Tout σ-anneau est un δ-anneau[2]. Cela découle de la relation ensembliste :
  • Dès lors, tous les exemples donnés à l'article « σ-anneau » (et a fortiori toutes les tribus) sont aussi des exemples de δ-anneaux.
  • Il existe des δ-anneaux qui ne sont pas des σ-anneaux. Un exemple simple en est, sur un ensemble X infini, la classe formée des parties finies de X.
  • Cet exemple est un cas particulier d'une collection d'exemples plus générale. Pour tout espace mesuré (X, 𝒜, μ), l'ensemble des éléments de la tribu 𝒜 qui sont de mesure finie est un δ-anneau.
Pour les articles homonymes, voir Delta et Anneau.
Ne doit pas être confondu avec Anneau delta.

Dans l'exposition traditionnelle du théorème d'extension de Carathéodory, qui étend une mesure définie sur un anneau d'ensembles à la tribu engendrée par celui-ci, la construction peut fournir une mesure qui n'est pas finie et donc nécessiter la considération de parties de mesure infinie. Lorsque la mesure initiale est sigma-finie, on dispose d'une alternative : il est possible d'énoncer le théorème d'extension comme fournissant une extension sur le δ-anneau engendré par 𝒜 et non la σ-algèbre engendrée. Ceci permet l'économie de l'introduction de la valeur +∞ dans la définition d'une mesure[3].

Étant donné un δ-anneau 𝒟 sur un ensemble X, on dit qu'une partie A de X est localement mesurable par rapport à 𝒟 lorsque :

La classe des ensembles localement mesurables par rapport à 𝒟 est une tribu. Lorsqu'on dispose d'une mesure finie μ sur 𝒟, on peut l'étendre à une mesure sur la tribu des ensembles localement mesurables en posant, pour tout A de cette tribu[4] :

Références

  1. (en) Vladimir Bogachev, Measure Theory, Springer, (ISBN 978-3-540-34513-8, lire en ligne), p. 8.
  2. (en) Karen Saxe, Beginning Functional Analysis, Springer, , 197 p. (ISBN 978-0-387-95224-6, lire en ligne), p. 69, ex. 3.2.1.
  3. Bogachev 2007, p. 24-25. On trouvera une présentation de la théorie de la mesure selon ce programme dans (en) John L. Kelley et T. P. Srinivasan, Measure and Integral, Springer, , 150 p. (ISBN 978-0-387-96633-5).
  4. Kelley et Srinivasan 1987, p. 91-92.
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