Dilatation (géométrie)

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Dessin d'origine
Résultat de la dilatation


Dilatation vectorielle

Une dilatation d'un espace vectoriel E est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul.

Les dilatations sont bijectives. L'ensemble des dilatations de base et direction fixées forme un sous-groupe du groupe linéaire GL(E), isomorphe au groupe multiplicatif du corps de base.

En dimension finie, un automorphisme de E est diagonalisable si et seulement s'il est produit commutatif de dilatations ; si de plus le corps de base a au moins 3 éléments, GL(E) est engendré par les dilatations.

Matrice de dilatation

Dans une base de formée de vecteurs de la base et de la direction de la dilatation, la dilatation a pour matrice une matrice du type . Ces matrices sont donc appelées matrices de dilatation.

Dilatation affine

Une dilatation d'un espace affine E est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul ; ce sont les applications affines de partie linéaire une dilatation vectorielle, sauf dans le cas du rapport 1.

Étant donnés deux points A et A' et un hyperplan H non parallèle à la droite (AA'), il existe une unique dilatation de base H envoyant A sur A' ; on obtient facilement l'image M' d'un point M par la construction :

En dimension finie, et si le corps de base a au moins 3 éléments, le groupe affine GA(E) est engendré par les dilatations.

Dilatation projective

Si l'on plonge l'espace affine dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini , on sait que l'on peut munir le complémentaire de l'hyperplan d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de dans deviennent parallèles dans et celles qui sont parallèles dans deviennent sécantes en un point de ).

À toute dilatation d'hyperplan de est alors associée une application affine de qui n'est autre qu'une homothétie.

Les dilatations en perspective deviennent donc en fait des homothéties. Si l'on regarde par avion une dilatation de base parallèle à la ligne d'horizon, on voit une homothétie dont le centre est sur la ligne d'horizon :

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que et à l'infini, la dilatation devient une homologie non spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les homothéties, les dilatations, et les homologies non spéciales.

Dilatation orthogonale

Ce sont, dans le cas euclidien, les dilatations dont la base est orthogonale à la direction. Elles contiennent comme cas particulier les réflexions.

Réalisation d'une dilatation par perspective parallèle

Plongeons l'espace euclidien de dimension n comme hyperplan d'un espace de dimension n+1 et faisons tourner autour de son hyperplan , de façon à en obtenir une copie .

Tout point de a une copie dans , donc aussi l'image de par une dilatation de base .

On montre que la droite garde une direction fixe , ce qui montre que s'obtient par projection de dans (projection de base et de direction ).

Voir ici une réalisation concrète de ce procédé.

Annexes

Articles connexes

Référence

Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998

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