Distribution quasi-stationnaire

Une distribution quasi-stationnaire est une distribution mathématique qui décrit le comportement d'une chaîne de Markov absorbante avant que l'absorption n'ait lieu.

Définition et propriétés en temps discret

Soit une chaîne de Markov sur l'ensemble des entiers naturels . Supposons que l'état 0 soit absorbant et la chaîne soit absorbée en 0 presque sûrement. Soit le temps d'absorption en 0. On dit qu'une probabilité sur est une distribution quasi-stationnaire si pour tout et pour tout ,

On dit qu'une probabilité sur est une limite de Yaglom si pour tout et tout ,

Une limite de Yaglom est une distribution quasi-stationnaire. Si elle existe, la limite de Yaglom est unique. En revanche, il peut y avoir plusieurs distributions quasi-stationnaires.

Si est une distribution quasi-stationnaire, alors il existe un nombre réel tel que

.

Soit . Alors pour tout

Le nombre ne dépend pas de . C'est le taux de survie du processus. S'il existe une distribution quasi-stationnaire, alors .

Soit la matrice de transition de la chaîne de Markov et . Si est une distribution quasi-stationnaire, alors . Donc est un vecteur propre à gauche avec une valeur propre dans l'intervalle .

Définition et propriétés en temps continu

Soit un processus de Markov à valeurs dans . Supposons qu'il y ait un ensemble mesurable d'états absorbants et posons . Notons le temps d'atteinte de . Supposons que soit atteint presque sûrement : .

Une probabilité sur est une distribution quasi-stationnaire si pour tout ensemble mesurable dans ,

.

Si est une distribution quasi-stationnaire, alors il existe un nombre réel tel que .

Exemple

Soit une chaîne de Markov en temps continu sur un espace d'états fini , de générateur . Soit un sous-ensemble absorbant de . Notons et . Supposons que soit une matrice irréductible. Supposons aussi qu'il existe tel que , où est le vecteur (1,...,1). D'après le théorème de Perron-Frobenius, il existe une unique valeur propre de la matrice avec un vecteur propre à gauche dont toutes les composantes sont et normalisé de sorte que . Alors est l'unique distribution quasi-stationnaire. De plus, pour tout ,

Historique

Les travaux de Wright sur la fréquence des gènes en 1931 et de Yaglom en 1947 sur les processus de ramification contenaient déjà l'idée des distributions quasi-stationnaires. Le terme de quasi-stationnarité appliqué aux systèmes biologiques a ensuite été utilisé par Barlett en 1957, qui a ensuite forgé le terme « distribution quasi-stationnaire ».

Les distributions quasi-stationnaires faisaient également partie de la classification des processus tués donnée par Vere-Jones en 1962. La définition pour les chaînes de Markov à espace d'états fini a été donnée en 1965 par Darroch et Seneta.

Bibliographie en français

Bibliographie en anglais et en russe

  • S. Wright : Evolution in Mendelian populations. Genetics, 1931, vol. 16, no 2, pp. 97–159.
  • A.M. Yaglom : Certains théorèmes limites dans la théorie des processus stochastiques de branchement (en russe) Dokl. Akad. Nauk. SSSR 56 (1947) 795-798.
  • Maurice Bartlett, « On theoretical models for competitive and predatory biological systems », Biometrika, no 44, , p. 27–42.
  • M.S. Bartlett : Stochastic population models in ecology and epidemiology. 1960.
  • D. Vere-Jones : Geometric ergodicity in denumerable Markov chains. The Quarterly Journal of Mathematics 13 (1962) 7–28. doi:10.1093/qmath/13.1.7
  • J.N. Darroch, E. Seneta : On Quasi-Stationary Distributions in Absorbing Discrete-Time Finite Markov Chains. Journal of Applied Probability 2 (1965) 88–100. doi:10.2307/3211876
  • Pierre Collet, Servet Martínez, Jaime San Martín : Quasi-Stationary Distributions. Springer.
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