Domaine d'holomorphie

En mathématiques et plus précisément en analyse complexe à plusieurs variables, on dit qu'un domaine (i.e. un ouvert connexe), est un domaine d'holomorphie s'il existe une fonction analytique dans et non prolongeable ailleurs.

Dans le cas particulier des domaines plans, cette propriété est triviale[1]. Mais ce n'est plus vrai dans le cas général comme l'explicite le théorème de Hartogs : il suffit par exemple de considérer dans lequel toute fonction analytique se prolonge nécessairement à l'espace tout entier.

Un domaine qui n'est pas un domaine d'holomorphie admet une extension holomorphe . Si de plus est holomorphe dans , alors son prolongement à ne peut prendre que des valeurs déjà prises sur [1].

Généralités

Domaine d'holomorphie[2] 

Un ouvert connexe de est un domaine d'holomorphie s'il n'existe aucun couple d'ouverts vérifiant les propriétés suivantes:

  1. ,
  2. est connexe et n'est pas contenu dans ,
  3. Pour toute fonction holomorphe dans , il existe une fonction holomorphe dans (pas nécessairement unique) telle que sur .

Un polydisque ou plus généralement un produit de domaines plans est un domaine d'holomorphie.

Théorème 

Soit une famille de domaines d'holomorphie et leur intersection. Alors toute composante connexe de l'intérieur est un domaine d'holomorphie[1].

Domaines holomorphiquement convexes

Enveloppe d'holomorphie 

L'enveloppe holomorphiquement convexe d'un ensemble d'un domaine (i.e un ouvert connexe), ou plus généralement d'une variété complexe est par définition :

Propriétés

Soit un compact. On a les propriétés suivantes[3] :

Propriété 1

est un fermé de contenant . De plus,

.

C'est-à-dire,

.

Propriété 2

Si est une application holomorphe entre deux domaines et une partie compacte alors :

.

En particulier,

.

Propriété 3

est la réunion de et des composantes connexes de relativement compactes. Ceci découle principalement du principe du maximum.

D'autres classes de fonctions

Il peut s'avérer utile[1] d'étudier l'enveloppe -convexe d'un compact relativement à une sous-classe de fonctions holomorphes. On la note alors .

Par exemple si désigne l'ensemble des fonctions linéaires, on retrouve l'enveloppe convexe au sens géométrique.

Si , on appelle l'enveloppe polynomiale convexe. On peut également définir l'enveloppe rationnelle convexe de la même manière.

Propriété 

Si alors .

Sans précision, on considère l'enveloppe holomorphiquement convexe par rapport au domaine.

Caractérisation

Domaine holomorphiquement convexe[1] 

On dit qu'un domaine est holomorphiquement convexe si : .

Remarque[3] 

Un domaine est holomorphiquement convexe si et seulement s'il existe une suite de compacts dans tels que[3] :

  • ,
  • pour tout n,
Propriété[3] 

Si est un domaine d'holomorphie et alors :

.

Théorème[3] 

Un domaine est un domaine d'holomorphie si et seulement s'il est holomorphiquement convexe.

Comme application[2], tout domaine géométriquement convexe est un domaine d'holomorphie. Un domaine de Reinhardt est un domaine d'holomorphie si et seulement s'il est domaine de convergence d'une série entière[2].

Pseudo-convexité et plurisousharmonicité

Références

  1. Boris Chabat, Introduction à l'analyse complexe - Tome 1 : Fonctions d'une variable, Mir, (ISBN 978-5-03-001627-6)
  2. (en) Lars Hörmander, An introduction to Complex Analysis in several variables, Amsterdam/New York, Van Nostrand, , 2e éd., 213 p. (ISBN 978-0-444-10523-3, lire en ligne)
  3. (en) Jean-Pierre Demailly, Complex Analytic and Differential Geometry (lire en ligne)

Articles connexes

  • Fonction plurisousharmonique (en)
  • Lemme d'Oka (en)
  • Métrique de Bergman (en)
  • Pseudoconvexité (en)
  • Théorème de Behnke-Stein (en)
  • Variété de Stein (en)
  • Portail de l’analyse
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