Droite d'Euler

En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler désigne une ligne passant par plusieurs points remarquables de ce triangle, dont l'orthocentre, le centre de gravité (ou isobarycentre) et le centre du cercle circonscrit.

En bleu : hauteurs
En orange : médianes
En vert : médiatrices
En rouge : droite d'Euler

Cette notion s'étend aux quadrilatères et aux tétraèdres.

Historique

Euler établit en 1765 que dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre H, le centre de gravité (ou isobarycentre) G et le centre du cercle circonscrit Ω étaient alignés, en établissant les relations de proportionnalité entre les distances , HG et GΩ : HΩ = 32 HG et GΩ = 12 HG[1]. La droite passe également par le centre du cercle des neuf points, qui est le milieu du segment [ΩH], ainsi que par d'autres points remarquables du triangle[2]. Ces quatre points sont confondus dans un triangle équilatéral.

Parmi les autres points remarquables, on peut citer le point de de Longchamps, le point de Schiffler, le point d'Exeter et le perspecteur de Gossard.

En revanche, elle ne passe pas par le centre du cercle inscrit au triangle, sauf si celui-ci est isocèle. Dans ce cas, la droite d'Euler correspond à l'axe de symétrie du triangle.

Existence

Relation d'Euler

Cet alignement s'exprime par la relation vectorielle dite relation d'Euler :

Représentation

Equation

On note A, B, C les angles aux sommets du triangle de référence, et on considère un point M de coordonnées trilinéaires x : y : z. L'équation de la droite d'Euler s'écrit alors

En coordonnées barycentriques α : β : γ, on a[3]

Représentation paramétrique

On sait que le centre du cercle circonscrit a pour coordonnées trilinéaires cos A : cos B : cos C et que celles de l'orthocentre sont sec A : sec B : sec C = cos B cos C : cos C cos A : cos A cos B. Ainsi, tout point de la droite d'Euler différent de l'orthocentre a des coordonnées trilinéaires de la forme

avec t un réel.

Ainsi, on a

  • le centre du cercle circonscrit pour t = 0,
  • le centre de gravité, de coordonnées cos A + cos B cos C : cos B + cos C cos A : cos C + cos A cos B, pour t = 1,
  • le centre du cercle d'Euler, de coordonnées cos A + 2cos B cos C : cos B + 2cos C cos A : cos C + 2cos A cos B, pour t = 2,
  • le point de Longchamps, de coordonnées cos A – cos B cos C : cos B – cos C cos A : cos C – cos A cos B, pour t = –1.

Longueurs des segments

Cercle et droite d'Euler d'un triangle

Les longueurs des différents segments s'expriment en fonction des trois côtés du triangle et du rayon du cercle circonscrit : et donc, d'après la relation d'Euler ci-dessus,

a = BC, b = CA, c = AB et R est le rayon du cercle circonscrit à (ABC)[4],[5].

Comme de plus, R s'exprime comme fonction symétrique des longueurs a, b et c, les longueurs ΩG, ΩH et GH s'expriment comme fonctions symétriques de ces trois longueurs

Références

  1. Leonhard Euler, Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum, sur le site de Euler Archive, rem page 114.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Euler Line », sur MathWorld
  3. Scott, J.A., "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, November 1999, 472-477.
  4. La preuve donnée ici est inspirée de celle donnée par Alexander Bogomolny sur la page Sum of Squares of Distances to Vertices de Cut The Knot.
  5. Une autre preuve, faisant appel aux nombres complexes, est proposée par Bogomolny sur la page Distance between the Orthocenter and Circumcenter

Voir aussi

Article connexe

Fonction de Leibniz

Bibliographie

  • Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage et Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
  • Petite encyclopédie de mathématique, Didier
  • Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie, Paris, Hermann, , 3e éd., 411 p. (ISBN 978-2-7056-7084-9)
  • Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, Calvage et Mounet (ISBN 978-2-916352-12-1)
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