Dual d'un polyèdre

En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, de telle sorte que

  • le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial,
  • les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.
Pour les articles homonymes, voir Dualité (mathématiques) et Dualité.

L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers en reliant les centres de faces adjacentes, mais on peut aussi utiliser la construction dite de Dorman Luke indiquée ci-dessous.

Plus généralement, on définit une dualité en considérant l'opération de conjugaison par rapport à la sphère circonscrite.

On peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits.

Le tétraèdre est son propre dual

Le cube donne l'octaèdre, le dodécaèdre régulier donne l'icosaèdre, le tétraèdre est son propre dual.
Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé celui du grand icosaèdre.
Les duaux des solides archimédiens sont les solides de Catalan.
Les duaux des prismes sont des diamants (ou bipyramides), ceux des antiprismes des antidiamants.


solidedual
tétraèdre tétraèdre
cubeoctaèdre
octaèdrecube
icosaèdredodécaèdre régulier
dodécaèdre réguliericosaèdre
petit dodécaèdre étoilégrand dodécaèdre
grand dodécaèdre étoilégrand icosaèdre
tétraèdre tronquétriakitétraèdre
cube tronquétriakioctaèdre
octaèdre tronquététrakihexaèdre
cuboctaèdredodécaèdre rhombique
petit rhombicuboctaèdreicositétraèdre trapézoïdal
grand rhombicuboctaèdrehexakioctaèdre
cube adouciicositétraèdre pentagonal
dodécaèdre tronquétriaki-icosaèdre
icosaèdre tronquépentakidodécaèdre
icosidodécaèdretriacontaèdre rhombique
petit rhombicosidodécaèdrehexacontaèdre trapézoïdal
grand rhombicosidodécaèdrehexaki icosaèdre
dodécaèdre adoucihexacontaèdre pentagonal


géode par triangulationgéode en nid d'abeille

Dualité des solides de Platon

Le dual du cube est l'octaèdreLe dual de l'octaèdre est le cube
Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdreLe dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre

Construction de Dorman Luke

Pour un polyèdre uniforme, les faces du polyèdre dual peuvent être trouvées à partir des figures de sommets du polyèdre d'origine en utilisant la construction dite de Dorman Luke.

À titre d'exemple, l'illustration ci-dessous montre une figure de sommets (rouge) du cuboctaèdre utilisée pour obtenir une face (bleue) du dodécaèdre rhombique.

Détails de la construction de Dorman Luke :

- dessiner la figure de sommets obtenue en marquant les milieux ABCD de chaque arête issue du sommet considéré
- tracer le cercle circonscrit au polygone ABCD.
- tracer les tangentes au cercle circonscrit en chaque sommet A, B, C, D.
- marquer les points E, F, G, H, où chaque tangente rencontre la tangente adjacente.
- le polygone EFGH est une face du polyèdre dual.

Dans cet exemple, le cercle circonscrit à la figure de sommets se trouve sur l'intersphère du cuboctaèdre, qui devient également l'intersphère du dodécaèdre rhombique dual.

La construction de Dorman Luke ne peut être utilisée que lorsqu'un polyèdre a une telle intersphère et que la figure de sommet est circulaire. En particulier, elle peut être appliquée aux polyèdres uniformes.

Voir aussi

Liens externes

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