Ensemble de définition

En mathématiques, l'ensemble de définition Df d'une fonction f dont l'ensemble de départ est noté E et l'ensemble d'arrivée F est l'ensemble des éléments de E qui possèdent une image dans F par f, autrement dit l'ensemble des éléments x de E pour lesquels f(x) existe :

On dit de f qu'elle est « définie sur Df  ». L'ensemble de définition Df  est encore appelé domaine de définition (ou simplement domaine) de f ; quand Df  est un simple intervalle, on peut l'appeler intervalle de définition.

Il ne faut pas confondre l'ensemble de définition Df  de la fonction f avec son ensemble de départ E. Il arrive toutefois que les deux soient égaux : la fonction est alors une application ; elle est alors dite « bien définie » ou « définie partout dans E ».

Exemple

À titre de contre-exemple, considérons la fonction

Cette fonction n'est pas définie en 0 : « f(0) » n'existe pas.

L'ensemble de définition de cette fonction est donc . Il diffère de son ensemble de départ, ; cette fonction n'est donc pas une application.

Restriction

Cependant, il est toujours possible de transformer une fonction en application, par exemple en la restreignant à son domaine de définition. Cette restriction est notée habituellement f|Df. C'est une application par construction.

Ainsi, dans notre exemple, la fonction

est bien une application.

Prolongement

Une autre solution pour transformer une fonction en application consiste à la prolonger, c'est-à-dire choisir une image dans l'ensemble d'arrivée pour chacun des éléments sans image de l'ensemble de départ. En particulier, si une fonction f n'est pas définie en un point x0, il est possible de la prolonger en ce point en la remplaçant par une autre fonction, appelée un prolongement de f en x0 et notée ici f, et telle que :

  • sur Df, le prolongement f coïncide avec f  :
  • au point x0, le prolongement de f a une valeur définie, a :

Ainsi, dans notre exemple, on peut transformer la fonction f en application en la prolongeant à l'origine par (par exemple) : f(0) = 0.

Remarque : assez souvent, pour alléger les notations, le prolongement est noté de la même manière que la fonction initiale. Cette ambiguïté est sans conséquence si le prolongement est explicité et remplace aussitôt et définitivement la fonction initiale.

Voir aussi

Article connexe

Ensemble de définition d'une fonction multivaluée (autrement dit : d'une relation binaire)

Lien externe

« Théorie et exercices sur les domaines de définitions » [PDF], sur le site d'exercices, cours et annales de mathématiques pour économistes, de G. Carin et B. Dupont, université Lille I

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