Ensemble totalement ordonné

En mathématiques, un ensemble totalement ordonné est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont toujours comparables.

Définition

Soit un ensemble muni d'une relation d'ordre . Rappelons que toute relation d'ordre vérifie les propriétés suivantes :

  • (réflexivité) ;
  • (transitivité) ;
  • (antisymétrie) .

est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de sont comparables pour  :

  • .

Exemples

  1. L'ensemble des parties de est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, n'est pas totalement ordonné : et ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
  2. L'ensemble des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle est totalement ordonné.
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