Entropie (mathématiques)

En mathématiques, l'entropie est une quantité réelle mesurant en un certain sens la complexité d'un système dynamique.

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Entropie topologique

Entropie métrique

Théorème du principe variationnel

Le théorème du principe variationnel permet de faire le lien entre l'entropie topologique et l'entropie métrique. Pour tout homéomorphisme f d'un espace topologique séparé compact, il existe au moins une mesure borélienne invariante. Dans sa forme la plus simple, le théorème du principe variationnel affirme que l'entropie topologique de f est la borne supérieure des entropies métriques de f associées aux différentes mesures boréliennes invariantes. Sous sa forme forte, le théorème affirme de plus que ce supremum est un maximum :

Théorème  Forme faible : Pour tout système dynamique topologique compact (X,f), l'entropie topologique h(f) vérifie :

ou est l'entropie métrique de f associée à la mesure et M(X,f) est l'ensemble des mesures boréliennes de X qui soient f-invariantes.

Forme forte : Pour tout système dynamique topologique compact (X,f), il existe une mesure borélienne qui soit f-invariante, telle que l'entropie métrique de f pour soit exactement l'entropie topologique de f :

La forme faible se déduit de la forme forte et d'inégalités entre entropie topologique et entropie métrique.

La forme forte se démontre en choisissant la mesure comme une limite faiblement convergente d'une suite de mesures.

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