Espace de Banach

En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de (en général, K = ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse fonctionnelle. Ils doivent leur nom au mathématicien polonais Stefan Banach.

Caractérisation par les séries

Un espace vectoriel normé est un espace de Banach si et seulement si, dans cet espace, toute série absolument convergente est convergente[1].

Exemples d'espaces de Banach

Théorème de l'application ouverte et ses variantes

Soient E et F deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de E dans F.

Propriété des fermés emboîtés

Comme tout espace métrique complet, un espace de Banach vérifie la propriété suivante :

Soit une suite décroissante de fermés non vides dont la suite des diamètres tend vers 0. Alors l'intersection des fermés est non vide et réduite à un singleton.

Cette propriété permet de démontrer que tout espace métrique complet (en particulier tout espace de Banach) est de Baire, et d'en déduire le théorème de Banach-Steinhaus ci-dessous.

Théorème de Banach-Steinhaus

Soient un espace de Banach, un espace vectoriel normé, une famille d'éléments de ℒ(E,F) et l'ensemble des vecteurs de tels que . Alors, ou bien est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble étant rare si son adhérence est d'intérieur vide) et son complémentaire est dense, ou bien (où désigne la norme d'opérateur de ). En particulier, si , seule la seconde éventualité est possible.

Note

  1. Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Espaces de Banach - Complétude » de la leçon « Espaces vectoriels normés » sur Wikiversité.

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes

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