Espace localement annelé

Le concept d'espace localement annelé est commun à différents domaines de géométrie, mais est plus utilisé en géométrie algébrique et en géométrie analytique complexe.

Définition

Un espace localement annelé est un espace topologique X muni d'un faisceau d'anneaux commutatifs OX, appelé faisceau structural, tel qu'en tout point, l'anneau des germes de OX soit un anneau local.

Si A est un anneau (commutatif unitaire), un espace localement annelé dont le faisceau structural est un faisceau de A-algèbres est appelé un espace localement annelé sur A.

Exemples

Un sous-espace ouvert de est une partie ouverte munie du faisceau d'anneaux . Le couple est un espace localement annelé.

Corps résiduel

Soit un point de . Soit l'idéal maximal de l'anneau local . Le quotient est le corps résiduel de en . Si est un voisinage ouvert de , alors et ont le même corps résiduel en .

Par exemple, Si est une variété algébrique, alors appartient à un voisinage ouvert affine . Le point correspond à un idéal maximal de , et le corps résiduel est égal à .

Pour les variétés complexes (resp. différentielles), les corps résiduels sont tous égaux à ℂ (resp. ℝ).

Morphismes

Un morphisme entre deux espaces localement annelés (X, OX) et (Y, OY) est la donnée d'une application continue f : XY et d'un morphisme de faisceaux d'anneaux f# : OY → f*OX tel que pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x)OX, x induit par f# soit un morphisme d'anneaux locaux (c'est-à-dire qu'il envoie l'idéal maximal de l'anneau source dans l'idéal maximal de l'anneau but). Quand il n'y a pas d'ambiguïté possible, on note souvent le morphisme par .

Un exemple trivial de morphisme est l'identité d'un espace dans lui-même. On peut naturellement composer deux morphismes , pour obtenir un morphisme . Un isomorphisme est un morphisme qui admet un morphisme inverse, c'est-à-dire dont la composition (à gauche ou à droite) avec est égale à l'identité.

Un morphisme (f, f#) : (X, OX) → (Y, OY) est une immersion si f est une immersion au sens topologique (c'est-à-dire que f induit un homéomorphisme de X sur son image), et si pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x)OX, x est surjectif.

Exemple Soit un point de . Alors l'espace topologique muni du faisceau constant est un espace localement annelé, et on a un morphisme qui est l'inclusion canonique au niveau du point . C'est une immersion.

Espace tangent

Soit un point de . Soit l'idéal maximal de l'anneau local . Alors le quotient est un espace vectoriel sur . Son dual s'appelle l'espace tangent de Zariski de en . C'est surtout en géométrie algébrique qu'on utilise cette approche. Cependant, dans le cas des variétés différentielles et variétés analytiques complexes, cette notion coïncide avec la définition standard.

Référence

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, Chapitre 0, § 4

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