Extension linéaire

Dans la branche des mathématiques de la théorie des ordres, une extension linéaire d'un ordre partiel est un ordre total (ou ordre linéaire) qui est compatible avec l'ordre partiel. Un exemple classique est l'ordre lexicographique des ensembles totalement ordonnés qui est une extension linéaire de leur ordre produit.

Définitions

Étant donnés des ordres partiels quelconques ≤ et ≤* sur un ensemble X, ≤* est une extension linéaire de ≤ si et seulement si (1) ≤* est un ordre total et (2) pour tout x et y dans X, si xy, alors x* y. C'est cette deuxième propriété qui conduit les mathématiciens à décrire ≤* comme l'extension de ≤.

Sinon, une extension linéaire peut être considérée comme un ordre de préservation de la bijection d'un ensemble partiellement ordonné P à une chaîne C sur le même ensemble.

Principe d'extension d'ordre

L'affirmation que chaque ordre partiel peut être étendu à un ordre total est connu comme le principe d'extension d'ordre. Une preuve utilisant l'axiome du choix a d'abord été publié par Edward Marczewski en 1930. Marczewski a écrit que le théorème a déjà été prouvé par Stefan Banach, Kazimierz Kuratowski, et Alfred Tarski, en utilisant également l'axiome du choix, mais que les preuves n'avaient jamais été publiées.[1].

Dans la théorie des ensembles axiomatique moderne, le principe d'extension d'ordre est lui-même pris comme un axiome, de même statut ontologique que l'axiome du choix. Le principe d'extension d'ordre est implicite dans le théorème de l'idéal premier dans une algèbre de Boole ou l'équivalent théorème de compacité,[2].mais l'implication inverse n'est pas vraie.[3].

L'application du principe d'extension d'ordre à un ordre partiel dans lequel chaque couple d'éléments sont incomparables montre que (en vertu de ce principe) chaque ensemble peut être linéairement ordonné. Cette affirmation que chaque ensemble peut être linéairement ordonné est connu sous le nom de principe de classement, OP, et c'est une version faible du théorème de Zermelo. Cependant, il existe des modèles de la théorie des ensembles dans lesquels le principe de classement est vrai alors que le principe d'extension d'ordre ne l'est pas.[4].

Résultats associés

Le principe d'extension d'ordre est démontrable de manière constructive pour des ensembles finis à l'aide d'algorithmes de tri topologique, où l'ordre partiel est représenté par un graphe orienté acyclique avec ses sommets les éléments de l'ensemble. Plusieurs algorithmes peuvent trouver un prolongement en temps linéaire.[5] En dépit de la facilité à trouver une seule extension linéaire, le problème du comptage de toutes les extensions linéaires d'un nombre fini d'ordre partiel est #P-complet; cependant, il peut être estimé par un schéma d'application en temps polynomial.[6][7]. Parmi tous les ordres partiels avec un nombre fixe d'éléments et un nombre fixe de paires comparable, les ordres partiels qui ont le plus grand nombre d'extensions linéaires sont des semi-ordres.[8].

La dimension d'un ordre partiel est la cardinalité minimum d'un ensemble d'extensions linéaires dont l'intersection est l'ordre partiel donné; de manière équivalente, c'est le nombre minimum d'extensions linéaires nécessaires pour s'assurer que chaque paire critique de l'ordre partiel est inversée dans au moins une des extensions.

Les Antimatroids peuvent être considérés comme la généralisation des ordres partiels; de ce point de vue, les structures correspondant aux extensions linéaires d'un ordre partiel sont les mots de base de l'antimatroid.[9].

Ce domaine comprend également un des problèmes ouverts de la théorie des ordres le plus célèbre, la conjecture 1/3–2/3, qui prétend que dans tous les ensembles finis partiellement ordonnés P n'étant pas totalement ordonnés, il existe une paire (x,y) d'éléments de P pour lesquelles les extensions linéaires de P dans lesquelles x < y un nombre compris entre 1/3 et 2/3 du nombre total des extensions linéaires de P.[10].[11]. De manière équivalente, si on choisit une extension linéaire de P uniformément au hasard, il existe une paire (x,y) qui a une probabilité entre 1/3 et 2/3 d'être ordonnée de manière que x < y. Toutefois, pour certains ensembles infinis partiellement ordonnées, avec une probabilité canonique définie sur ses extensions linéaires comme une limite des probabilités pour des ordres partiels finis qui couvrent l'ordre partiel infini, la conjecture 1/3–2/3 n'est pas vraie.[12].

Références

  1. (fr) Edward Marczewski, 1930,Sur l'extension de l'ordre partiel, Fundamenta Mathematicae (en français), 16: 386–389.
  2. (en) Jech, Thomas (2008) [publié pour la première fois en 1973], The Axiom of Choice, Dover Publications, (ISBN 0-486-46624-8).
  3. (en) Felgner, U.; Truss, J. K. (March 1999), "The Independence of the Prime Ideal Theorem from the Order-Extension Principle", The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 64 (1): 199–215, JSTOR 2586759, doi:10.2307/2586759.
  4. (en) Mathias, A. R. D. (1971), "The order extension principle", in Scott, Dana S.; Jech, Thomas J., Axiomatic Set Theory (University of California, Los Angeles, Calif., July 10 – August 5, 1967), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 13, American Mathematical Society, pp. 179–183.
  5. (en) Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001), "Section 22.4: Topological sort", Introduction à l'algorithmique (2nd ed.), MIT Press, pp. 549–552, (ISBN 0-262-03293-7).
  6. (en) Brightwell, Graham R.; Winkler, Peter (1991), "Counting linear extensions", Order, 8 (3): 225–242, doi:10.1007/BF00383444
  7. (en) Bubley, Russ; Dyer, Martin (1999), "Faster random generation of linear extensions", Discrete Mathematics, 201: 81–88, doi:10.1016/S0012-365X(98)00333-1.
  8. (en) Fishburn, Peter C.; Trotter, W. T. (1992), "Linear extensions of semiorders: a maximization problem", Discrete Mathematics, 103 (1): 25–40, MR 1171114, doi:10.1016/0012-365X(92)90036-F.
  9. (en) Björner, Anders; Ziegler, Günter M. (1992), "Introduction to Greedoids", in White, Neil, Matroid Applications, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 40, Cambridge University Press, pp. 284–357, (ISBN 978-0-521-38165-9). Voir surtout item (1) p. 294.
  10. (en) Kislitsyn, S. S. (1968), "Finite partially ordered sets and their associated sets of permutations", Matematicheskiye Zametki, 4: 511–518.
  11. (en) Brightwell, Graham R. (1999), "Balanced pairs in partial orders", Discrete Mathematics, 201 (1-3): 25–52, doi:10.1016/S0012-365X(98)00311-2.
  12. (en) Brightwell, G. R.; Felsner, S.; Trotter, W. T. (1995), "Balancing pairs and the cross product conjecture", Order, 12 (4): 327–349, MR 1368815, doi:10.1007/BF01110378.
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