Fibré tangent

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, muni d'une structure de variété différentielle prolongeant celle de M ; c'est un espace fibré de base M.

Pour les articles homonymes, voir Tangent.
Deux manières de représenter le fibré tangent d'un cercle : tous les espaces tangents (en haut) sont regroupés de manière continue et sans se recouvrir (en bas).

Cas des sous-variétés

Supposons que soit une sous-variété de classe (k ≥ 1) et de dimension d de ; on peut voir alors comme l'ensemble des couples formés d'un point et d'un vecteur tangent à en . (Passer à permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe et de dimension 2d de . En effet, pour tout point de , il existe un ouvert et une submersion (de classe ) tels que . On en déduit que

Mais l'application est une submersion de classe de dans

Exemple : Le fibré tangent au cercle apparaît ainsi comme la sous-variété

.

Il est difféomorphe au cylindre (voir ci-contre).

Définition formelle

On définit en se donnant pour chaque ouvert de une trivialisation locale

est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à en n'importe quel et pour chaque , appartient à l'espace tangent à en .

Par ailleurs doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si et sont des ouverts associés à des cartes et alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs et )

où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.

Article connexe

Fibré cotangent

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