Fonction êta de Dedekind

La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive.

Pour un tel nombre complexe , on pose et la fonction êta est alors : , en posant .

Propriétés

La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.

La fonction êta vérifie les deux équations fonctionnelles

et

.

La seconde se généralise : soient des entiers tels que (donc associés à une transformation de Möbius appartenant au groupe modulaire), avec . Alors[1]

et est la fonction somme de Dedekind :

.

À cause des équations fonctionnelles, la fonction êta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s'en servir pour définir d'autres formes modulaires.

En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass, forme modulaire de poids 12, peut être défini comme

(certains auteurs omettent le facteur , pour que la série soit à coefficients entiers).

La fonction d'Euler

a un développement en série donné par l'identité d'Euler :

.

Comme la fonction êta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions êta. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

Notes et références

  1. Apostol 1990, p. 52, th. 3.4.

Voir aussi

Article connexe

Identités de Macdonald (en)

Lien externe

Michel Demazure, « Identités de Macdonald », Séminaire Bourbaki, vol. 18, 1975-1976, p. 191-201 (lire en ligne)

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