Fonction carré

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x2, soit x multiplié par lui-même. C'est l'une des plus simples des fonctions puissance.

Fonction carré
Courbe représentative de la fonction .
Notation
Réciproque
sur
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
Parité
paire
Valeurs particulières
Valeur en zéro
0
Limite en +∞
+∞
Limite en −∞
+∞
Minima
0
Particularités
Zéros
0
Points fixes
0 ; 1

Propriétés

Signe

La première propriété est la positivité (au sens large) de la fonction carré. En effet pour tout réel , le réel est le produit de deux nombres réels de même signe ; par la règle des signes il est donc positif.

Parité

La fonction est paire : pour tout réel . En effet, avec la remarque précédente en appliquant la règle des signes on obtient .

Convexité

La fonction carré est strictement convexe sur . En effet, sa dérivée seconde est strictement positive : f '' = 2 > 0.

Résolution d'équation de type x2 = a

Calculer les antécédents d'un réel a par la fonction carré équivaut à résoudre l'équation x2 = a. Il y a trois cas possibles :

  •  : aucune solution dans l'ensemble des réels ;
  •  : une solution, x = 0 ;
  •  : deux solutions, et .

Par exemple, les solutions de x2 = 9 sont 3 et -3.

On peut également déterminer les antécédents graphiquement : les antécédents de a sont les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation y = a et du graphe de la fonction carré.

Dérivée

La dérivée de la fonction carré est[1] (c'est une fonction linéaire donc impaire). Elle est donc positive sur , si bien que la fonction carré est croissante sur cet intervalle. À l'inverse, elle est négative sur donc la fonction carré est décroissante sur cet intervalle. Elle s'annule en 0, son minimum global. Le sens de variation de la fonction carré est à prendre en compte lors de la résolution d'inéquations (inversion des inégalités si les valeurs sont négatives).

Intégrale

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

donc pour la fonction carré définie par , on a :

Primitive

La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions g définies par, pour C une constante :

Représentation graphique

Représentation graphique de la fonction carré.

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0, 0). L'intégralité de la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses — ce qui traduit la positivité de la fonction — et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.

Extension au domaine complexe

On peut étendre la définition de la fonction carré au domaine complexe en définissant . Par exemple, si , . peut être aussi considérée comme une fonction de dans , la fonction qui au couple associe le couple puisque, en écrivant , on a [2]

La fonction carré peut servir à illustrer des propriétés de différentiabilité, d'holomorphie, sert souvent d'exemple pour illustrer les conditions de Cauchy-Riemann [3],[4].

La fonction carré sert également à démontrer une propriété géométrique des triplets pythagoriciens.

Note

  1. Voir par exemple ce calcul basique sur Wikiversité.
  2. Spiegel, Murray R., Variables complexes : cours et problèmes, Mcgraw-Hill, (ISBN 2-7042-0020-3, OCLC 299367656, lire en ligne), p.41
  3. Jacques Dixmier, Cours de mathématiques du premier cycle : deuxième année : exercices, indications de solutions, réponses, Gauthier-Villars, (ISBN 2-04-015715-8, OCLC 23199112, lire en ligne), chapitre 52
  4. « cours d'analyse complexe de michèle audin, ex II.18 », sur irma.math.unistra.fr
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