Fonction de Clausen

En mathématiques, la fonction de Clausen, étudiée par Clausen puis (entre autres) Kummer et Rogers (en), est définie par l'intégrale suivante :

.
Graphe des fonctions de Clausen Cl2 (rouge) et Cl4 (vert).

Plus généralement, on définit, pour Re(s) > 1 :

.

Propriétés

  • Les fonctions de Clausen sont impaires et -périodiques, donc nulles sur π.
  • .
  • La fonction Cln pour n ∈ ℕ* est reliée au polylogarithme Lin par :
    • ;
    • .
  • Pour tout entier m ≥ 2, .
  • pour 0 ≤ θ ≤ 2π, où ζ est la fonction zêta de Riemann[1].

Accélération du calcul de la série

Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :

,

pour |θ| < 2π.

Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :

.

La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que ζ(n) tend rapidement vers 1 quand n tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle[2].

Valeurs particulières

K est la constante de Catalan. Plus généralement :

β est la fonction bêta de Dirichlet.

La valeur maximale de Cl2 est la constante de Gieseking (de)[3],[4] :

.

Le volume hyperbolique (en) du complément du nœud en huit (en) est le double de cette constante[5],[6] :

(A091518)[7].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Clausen function » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Leonard Lewin, Structural Properties of Polylogarithms, [détail de l’édition], p. 8.
  2. (en) Jonathan M. Borwein, David M. Bradley et Richard E. Crandall, « Computational Strategies for the Riemann Zeta Function », J. Comput. App. Math., vol. 121, nos 1-2, , p. 247-296 (DOI 10.1016/S0377-0427(00)00336-8).
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Gieseking's Constant », sur MathWorld.
  4. Apparaît sous le nom de « constante de Lobachevsky » dans (en) Steven Finch, « Volumes of Hyperbolic 3-Manifolds », sur Université Harvard, , p. 4.
  5. Finch 2004, p. 3-4.
  6. (en) Jonathan Borwein et David Bailey, Mathematics by Experiment : Plausible Reasoning in the 21st Century, A K Peters (en), , 393 p. (ISBN 978-1-56881-442-1, lire en ligne), p. 56.
  7. Pour de nombreuses autres expressions de V, voir (en) Eric W. Weisstein, « Figure Eight Knot », sur MathWorld.

Voir aussi

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