Fonction de Legendre

En mathématiques, les fonctions de Legendre, notées Pλ (première espèce) Qλ (seconde espèce), ainsi que les fonctions associées de Legendre correspondantes, notées Pλμ et Qλμ, sont des généralisations des polynômes de Legendre et des polynômes associés de Legendre , à des valeurs non-entières de et m.

Définition

Les fonctions associées de Legendre sont les solutions de l'équation générale de Legendre:

λ et μ sont en général des nombres complexes appelés respectivement le degré et l' ordre de la fonction associée de Legendre. Le cas des fonctions de Legendre correspond a μ=0, si par surcroît λ est un entier positif, ces fonctions se réduisent aux polynômes orthogonaux de Legendre.

Les polynômes associés de Legendre correspondent eux au cas où λ et μ sont des entiers (positif pour λ).

Expressions

La fonction associée de Legendre de première espèce Pλμ s'exprime en fonction de la fonction hypergéométrique :

est la fonction gamma.

L'équation générale de Legendre étant du second ordre, elle admet une autre solution, dite de seconde espèce, notée , et définie par:

Représentations intégrales

Les fonctions de Legendre peuvent s'exprimer sous formes d'intégrales de contour. Ainsi on a:

où le contour est défini comme celui allant des points 1 à z des parties réelles croissantes, sans entourer le point -1. Pour x réel cette représentation devient:

Références

  • Snow,Chester, Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory,U. S. Government Printing Office, Washington, D.C.,National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, 1942. Disponible à l'adresse .
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