Fonction harmonique

En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction qui satisfait l'équation de Laplace.

Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ?

Définition

Soit U un ouvert de ℝn. Une application f : U → ℝ deux fois différentiable est dite harmonique sur U si

,

ce qui s'écrit aussi (en utilisant l'opérateur nabla) :

,

ou encore (où la lettre grecque delta majuscule représente l'opérateur laplacien) :

.

Une telle fonction est automatiquement de classe C.

Fonction harmonique sur ℂ

En identifiant ℂ à ℝ2, on va voir que les fonctions harmoniques sont très liées aux fonctions holomorphes.

  • La partie réelle d'une fonction holomorphe ou anti-holomorphe sur un ouvert de ℂ est harmonique.

La réciproque de cette propriété est fausse, par contre on a :

  • Soit Ω un ouvert simplement connexe de ℂ ; toute fonction harmonique sur Ω est la partie réelle d'une fonction holomorphe sur Ω.

Articles connexes

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