Fonction nombre de diviseurs

En théorie des nombres — une branche des mathématiques — la fonction nombre de diviseurs est une fonction arithmétique qui indique le nombre de diviseurs d'un entier naturel n, en incluant parmi les diviseurs de n les nombres 1 et n. Elle est généralement notée ou (de l'allemand Teiler : diviseur), ou encore , comme cas particulier de fonction diviseur.

Définition

Pour tout nombre naturel on définit :

.

Les premières valeurs sont les suivantes[1] :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Diviseurs de 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Propriétés

  • On a l'identité suivante : [2]
  • Si la décomposition en produit de facteurs premiers de est
    ,
    alors[3] :
    .
  • La fonction nombre de diviseurs est donc multiplicative, c.-à-d. que si et sont premiers entre eux, alors :
    .
  • Un nombre est premier si et seulement si .
  • Un nombre est un carré parfait si et seulement si est impair.
  • La série de Dirichlet de la fonction nombre de diviseurs est le carré de la fonction zêta de Riemann[4] :
    (pour ).

Comportement asymptotique

En moyenne, . Plus précisément : il existe des constantes telles que[5]

(où est un symbole de Landau et la constante d'Euler-Mascheroni.)

La valeur a déjà été prouvée par Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet[6], c'est pourquoi la recherche de meilleures valeurs est appelée le « problème des diviseurs de Dirichlet (en) »[7].

De meilleures valeurs ont été indiquées par Gueorgui Voronoï (1903, remplacé par )[8], Johannes van der Corput (1922, )[9], ainsi que Martin Huxley (de) ()[10]. À l'opposé, Godfrey Harold Hardy et Edmund Landau ont démontré[11] que est nécessairement supérieur ou égal à 1/4. Les valeurs possibles pour sont toujours l'objet de recherches.

Généralisations

La fonction diviseur associe à chaque nombre la somme des puissances -ièmes de ses diviseurs :

La fonction nombre de diviseurs est donc le cas particulier de la fonction diviseur pour  :

.

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Teileranzahlfunktion » (voir la liste des auteurs).
  1. Pour plus de valeurs, voir la suite A000005 de l'OEIS.
  2. Monier, Jean-Marie., Analyse. tome 1, 800 exercices résolus et 18 sujets d'étude, Dunod, (ISBN 2040188592 et 9782040188597, OCLC 22533483, lire en ligne), page 174
  3. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938) [détail des éditions], 4e éd., 1975, p. 239, Th. 273.
  4. Hardy Wright, p. 250, Th. 289.
  5. Hardy Wright, p. 264, Th. 320.
  6. (de) P. G. L. Dirichlet, « Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie », Abhandl. König. Preuss. Akad. Wiss., 1849, p. 69-83 ou Werke, t. II, p. 49-66.
  7. Olivier Bordellès, « Le problème des diviseurs de Dirichlet », Quadrature, no 71, , p. 21-30 (lire en ligne).
  8. G. Voronoï, « Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques », J. reine angew. Math., vol. 126, , p. 241-282 (lire en ligne).
  9. (de) J. G. van der Corput, « Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem », Math. Ann., vol. 87, 1922, p. 39-65. « —, Corrections », vol. 89, 1923, p. 160.
  10. (en) M. N. Huxley, « Exponential Sums and Lattice Points III », Proc. London Math. Soc., vol. 87, no 3, , p. 591-609.
  11. (en) G. H. Hardy, « On Dirichlet'’s divisor problem », Proc. Lond. Math. Soc. (2), vol. 15, 1915, p. 1-25. Cf. Hardy Wright, p. 272.
  12. Les deux premières colonnes sont extraites de la suite A005179 de l'OEIS. Pour premiers tels que , et .

Article connexe

Nombre hautement composé

  • Arithmétique et théorie des nombres
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