Forme différentielle fermée

En topologie différentielle, une forme différentielle est dite fermée lorsque sa dérivée extérieure est nulle.

D'après le théorème de Schwarz, toute forme exacte de classe C1 est fermée. Le lemme de Poincaré fournit une réciproque partielle.

Cas des 1-formes

En dimension n, une 1-forme

est fermée si

Il y a donc n(n – 1)/2 conditions à satisfaire.

  • En dimension 1, une 1-forme dérivableest toujours fermée.
  • En dimension 2, une 1-formeest fermée si
  • En dimension 3, une 1-formeest fermée si   ;     ;   ce qui correspond à
    avec

Références

  • Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
  • Samuel Ferdinand Lubbe, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, Bachelier, 1832 [lire en ligne]
  • Portail de l’analyse
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.