Formule de fraction continue d'Euler

En théorie analytique des nombres, la formule de fraction continue d'Euler est une identité reliant les séries aux fractions continues généralisées, publiée par Leonhard Euler en 1748 et utile dans l'étude du problème de convergence général pour les fractions continues à coefficients complexes.

Cas fini

Euler a établi une identité[1] dont la transcription est, en notation de Pringsheim :

cette égalité signifiant seulement que les sommes partielles de la série de gauche sont égales aux réduites de la fraction continue de droite, autrement dit :

Il trouve simplement cette formule par une analyse rétrograde des relations fondamentales sur les réduites.

Cas infini

Par changement de notations et passage à la limite, on en déduit :

pour toutes suites de nombres complexes yj non nuls et xj tels que la série de gauche converge. Ceci permet donc, après avoir mis une série convergente sous la forme adéquate, de la transformer en fraction continue. De plus, si les complexes xj et yj sont des fonctions d'une variable z et si la convergence de la série est uniforme par rapport à z, il en est naturellement de même pour la convergence de la fraction continue.

Cette formule a de nombreux corollaires, comme :

  1. en prenant tous les yj égaux à 1 :
  2. en posant x0 = 1, y0 = a0 et pour j > 0, xj = aj–1z et yj = a0a1aj :
  3. en posant x0 = 1, y0 = u0 et pour j > 0, xj = uj–12Z et yj = u0u1uj :

Exemples

Fonction exponentielle

L'exponentielle complexe est une fonction entière donc son développement en série entière converge uniformément sur toute partie bornée du plan complexe : Il en est donc de même pour la fraction continue (obtenue par le deuxième corollaire ci-dessus) :

On en déduit par exemple :

donc

la dernière égalité résultant d'une transformation usuelle.

Fonction logarithme

Le développement en série entière de la détermination principale du logarithme complexe appliqué à 1 + z est Il converge uniformément quand z parcourt le disque unité fermé privé d'un voisinage arbitrairement petit de −1. Il en est donc de même pour la fraction continue (obtenue par le troisième corollaire ci-dessus) :

On en déduit par exemple :

Arc tangente hyperbolique

La fonction artanh est définie sur ℂ\(]–∞, –1]∪[1, +∞[) par Par conséquent, uniformément sur le disque unité fermé privé d'un voisinage de ±1, donc aussi (par le troisième corollaire ci-dessus)

Arc tangente

La fonction arctan (circulaire) est reliée à la fonction artanh (hyperbolique) par Elle a donc, uniformément sur le disque unité fermé privé d'un voisinage arbitraire de ±i, un développement analogue en série entière (trouvé par Madhava puis par Gregory et Leibniz) : et en fraction continue :

Cotangente et tangente

Le développement de cot uniformément convergent hors d'un voisinage uniforme de , se transforme de même en

d'où

Des séries analogues pour π2/sin2z), πtan(πz/2), π/sin(πz) et π/cos(πz) se transforment de même en fractions continues.

Nombre π

Les développements ci-dessus de arctan, artanh, cot ou tan — ces deux derniers nécessitant une normalisation pour retrouver des coefficients entiers — joints au fait que π4 = artan(1) = (1/i)artanh(i) ou cot(π/4) = tan(π/4) = 1, donnent la fraction continue généralisée trouvée par William Brouncker en 1655 :

Notes et références

  1. (la) L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, vol. I, chap. 18, § 365-366, p. 298-299 (p. 25 du fichier [PDF]).

(de) Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Teubner, (lire en ligne), « § 45 : Äquivalenz von Kettenbrüchen und Reihen », p. 205-211

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