Germe (mathématiques)

La notion de germe en mathématiques capture les propriétés « locales » d'un phénomène, par exemple la coïncidence infinitésimale entre fonctions. C'est une notion initialement analytique qui possède en fait une structure algébrique naturelle, et qui apparaît naturellement en géométrie algébrique et en théorie des groupes de Lie.

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Motivation

La notion de germe permet d'approcher ce qui se passe localement sur un objet mathématique (espace topologique, variété différentielle, faisceau…). Toutes les propriétés locales d'une fonction s'étudient en analysant son germe : la continuité, dérivabilité

Anneau des germes de fonctions continues

L'idée est la suivante : on veut considérer l'ensemble des fonctions continues, définies au voisinage d'un point, deux fonctions étant considérées égales dès lors qu'elles coïncident au voisinage de ce point. La définition suivante donne un sens rigoureux à cette intuition.

Soit X un espace topologique, et soit x un point de cet espace. On considère l'ensemble des couples (U, f), où U est un ouvert contenant x et f une fonction continue de U à valeurs dans un corps, par exemple le corps ℝ des nombres réels. Sur cet ensemble, on considère la relation d'équivalence si et seulement s'il existe, dans l'intersection UV, un ouvert W contenant x tel que les fonctions f et g coïncident sur ce voisinage, c'est-à-dire .

L'ensemble quotient A hérite d'une structure naturelle d'anneau et est appelé anneau des germes de fonctions continues en x.

Il s'agit en plus d'un anneau local. En effet, l'évaluation en x induit un morphisme de A dans ℝ, qui est surjectif. Son noyau est donc un idéal maximal de A. C'est l'unique idéal maximal de A, car si une fonction continue f ne s'annule pas en p, elle reste non nulle sur un voisinage de p, ie a un germe inverse.

Interprétation géométrique

En géométrie algébrique et plus précisément en théorie des schémas, pour tout anneau A et tout idéal premier  de A, on peut définir le localisé . Cet anneau s'interprète géométriquement comme un anneau de germes de fonctions.

Autres exemples

On peut remplacer la notion de continuité par d'autres notions, ce qui conduit aux exemples suivant :

Voir aussi

Bibliographie

N. Bourbaki, Algèbre, Hermann, 1970

Articles connexes

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