Grandeur sans dimension

Une grandeur sans dimension (ou grandeur adimensionnelle) est une grandeur physique dont l'analyse dimensionnelle aboutit à un produit où tous les exposants des grandeurs de base sont nuls[1].

Elle est constituée du produit ou rapport de grandeurs à dimensions, de telle façon que le rapport des unités équivaut à un. L'analyse dimensionnelle permet de définir ces grandeurs sans dimension. L'unité SI dérivée associée est le nombre 1[2]. On trouve parmi ces grandeurs l'indice de réfraction ou la densité par exemple.

Ces grandeurs sans dimension interviennent particulièrement en mécanique des fluides et pour la description de phénomène de transfert lorsqu'on utilise la similitude de modèles réduits ou théorie des maquettes et construit l'interprétation des résultats d'essais. Elles portent le nom de nombres sans dimension, nombres adimensionnels, ou encore de nombres caractéristiques.

Des nombres caractéristiques utiles

Le domaine d'application par excellence des nombres adimensionnels est la mécanique des fluides. Il existe des centaines de nombres dont une grande partie réservée à des sujets très spécialisés[3],[4],[5],[6]. Une liste non exhaustive est donnée ci-après des nombres adimensionnels les plus courants.

Liste commune

Liste des nombres adimensionnels
Nom Symbole Domaines d'utilisation Type de rapport
Nombre d'AbbeVOptiqueangle de réfraction/angle de dispersion
Nombre d'absorptionAbTransfert de massetemps d'exposition/temps d'absorption
Nombre d'accélérationAcMécanique des fluidesforce d'accélération/force de gravité
Nombre d'AlfvenAlMagnétohydrodynamiquevitesse du fluide/vitesse de l'onde d'Alfven
Nombre d'ArchimèdeArMécanique des fluidesforce de gravité*force d'inertie/force visqueuse2
Nombre d'ArrhéniusγCinétique chimiqueénergie d'activation/énergie potentielle
Nombre d'AtwoodAtMécanique des fluidesdifférence de densités/somme de densité
Nombre d'or Phi, φ Mathématiques unique rapport entre 2 longueurs telles que le rapport de leur somme à la plus grande soit égal à celui de la plus grande sur la plus petite
Nombre de BagnoldBaRhéologieénergie dissipée par frottement visqueux/énergie dissipée par choc
Nombre de BansenBaTransfert thermiqueénergie transférée par radiation/capacité thermique du fluide
Nombre de BejanBeMécanique des fluides, transfert thermique, thermodynamiqueentropie générée par transfert thermique/entropie totale générée
Nombre de Best (ou de Davies) Mécanique des fluides des bas nombres de Reynolds Produit du Cx quadratique par le carré du Nombre de Reynolds, le Nombre de Best est indépendant de la vitesse des particules
Nombre de BinghamBmRhéologielimite d'élasticité/force visqueuse
Nombre de BiotBiTransfert thermique, de massetransfert à la surface du corps/transfert dans un corps
Nombre de BlakeBlMécanique des fluidesforce d'inertie/force visqueuse (nombre de Reynolds pour lit de particule)
Nombre de BodensteinBoTransfert de masse, mécanique des fluidestransfert de masse convectif/transfert de masse par dispersion
Nombre de BoltzmannBoTransfert thermiqueéquivalent au nombre de Thring
Nombre de BondBoMécanique des fluideséquivalent au nombre d'Eötvös
Nombre de BouguerBgTransfert thermiquetransfert thermique par radiation dans un gaz chargé de poussières
Nombre de BoussinesqBqMécanique des fluidesforce d'inertie/force de gravité
Nombre de BrinkmanBrTransfert thermique, rhéologiechaleur produite par dissipation des forces visqueuses dissipée/chaleur transférée par conduction
Nombre de BulyginBuTransfert thermiqueénergie utilisée pour évaporer le liquide/énergie utilisée amener le liquide à ébullition
Nombre capillaireCaMécanique des fluidesforce visqueuse/tension superficielle
Nombre de capillaritéCapMécanique des fluidesforce capillaire/force de filtration
Nombre de CarnotCaÉnergieEfficacité du cycle de Carnot
Nombre de CauchyCaRhéologieforce d'inertie/force élastique
Nombre de cavitationσcMécanique des fluidesdifférence de pression/pression dynamique
Nombre de ClausiusClTransfert thermiqueénergie cinétique/transfert thermique par conduction
Facteur J de ColburnjH, jMTransfert thermique, de masse, de moment
Nombre de condensationCoTransfert thermiqueforce visqueuse/force de gravité
Facteur de contractionαRelativité (où γ est le facteur de Lorentz)
Nombre de CourantCoMathématiques, informatique
Nombre de CowlingCoMagnétohydrodynamiquevitesse de l'onde d'Alfven/vitesse du fluide
Nombre de CroccoCrMécanique des fluidesvitesse d'un gaz/vitesse maximale d'un gaz détendu à 0 K isentropiquement
Nombre de DamköhlerDaCinétique chimiquevitesse de réaction chimique/vitesse de transfert des réactifs
Nombre de DeanDMécanique des fluidesforce d'inertie/force visqueuse (nombre de Reynolds pour tube courbe)
DensitédPhysique, chimie, biologiemasse volumique du corps/masse volumique du corps de référence (Pression et Température identiques pour des corps gazeux)
Nombre de DeborahDeRhéologietemps de relaxation d'un corps/temps de l'expérience (équivalent au nombre de Weissenberg dans certains cas)
Nombre de DebyeDyMesurelongueur de Debye/diamètre de la sonde de mesure
Nombre de DeryaginDeMécanique de fluidesépaisseur du film/longueur capillaire
Nombre de DufourDu2Transfert thermiquechaleur transférée par conduction/chaleur transférée par convection
Nombre de DulongDuMécanique des fluideséquivalent au nombre d'Eckert
Constante de Neper e Mathématiques base du logarithme naturel
Nombre d'EckertEcMécanique des fluidesénergie cinétique/enthalpie du fluide
Nombre d'EinsteinEiMagnétohydrodynamiqueéquivalent au nombre de Lorentz
Nombre d'EkmanEkMécanique des fluidesforce visqueuse/force de Coriolis
Nombre d'EllisElMécanique des fluides
Nombre d'ElsasserEl, ΛMagnétohydrodynamiqueforce de Lorentz/force de Coriolis
Nombre d'EötvösEoMécanique des fluidesforce de gravité/tension superficielle
Nombre d'EricksenErRhéologie
Nombre d'Euler (physique)EuMécanique des fluidesforce de pression/force d'inertie
Nombre d'évaporationETransfert thermique
Nombre d'explosionEExplosion
Nombre de FedorovFeMécanique des fluidesflux de particules/flux gaz porteur (lit fluidisé)
Nombre de FliegnerFnMécanique des fluides
Nombre de FourierFoTransfert thermique, de massetransfert thermique par conduction/accumulation d'énergie
Nombre de FresnelFOptique
Nombre de FroudeFrMécanique des fluidesforce d'inertie/force de gravité
Nombre de FrühMécanique des fluides
Nombre de GaliléeGaMécanique des fluidesforce de gravité/force visqueuse
Nombre de Gay-LussacGcTransfert thermiquedifférence de température/coefficient d'augmentation de pression isochore
Nombre de GörtlerGMécanique des fluides
Nombre de GoucherGoMécanique des fluides(force de gravité/tension superficielle)0.5
Nombre de GraetzGzTransfert thermiquecapacité thermique du fluide/chaleur transférée par conduction
Nombre de GrashofGrMécanique des fluidesforce d'inertie*poussée d'Archimède/force visqueuse2
Nombre de GukhmanGuTransfert thermiquecritère pour transfert thermique convectif par évaporation
Nombre de HagenHaMécanique des fluides
Nombre de HartmannHaMagnétohydrodynamiqueforce de Laplace/force visqueuse
Nombre de HattaHaCinétique chimiquevitesse de réaction chimique sans transfert de masse/transfert de masse
Nombre de HedströmHeRhéologielimite de plasticité*force d'inertie/force visqueuse2
Nombre de HelmholtzHeAcoustiquelongueur caractéristique/longueur d'onde
Nombre de HerseyHsTribologieforce de charge/force visqueuse
Nombre de HodgsonHoMesureconstante de temps du système/période de pulsation
Nombre de HookeHoRhéologieéquivalent au nombre de Cauchy
Nombre de JakobJaTransfert thermiquechaleur latente/chaleur sensible (vaporisation)
Nombre de JakobJaTransfert thermiquechaleur sensible/chaleur latente (vaporisation)
Nombre de JeffreysJeMécanique des fluides, géophysiqueforce de gravité/force visqueuse
Nombre de JouleJoMagnétismeénergie thermique par effet Joule/énergie du champ magnétique
Nombre de KarlovitzKaMécanique des fluidestemps chimique/temps de Kolmogorov
Nombre de KarmanKaMécanique des fluides, magnétohydrodynamiquemesure de la turbulence dans un flux
Nombre de Keulegan-CarpenterKCMécanique des fluides
Nombre de KirpichevKiTransfert thermique, de massetransfert en surface/ transfert dans le solide
Nombre de KirpitcheffKirMécanique des fluidesflux en présence de corps immergés
Nombre de KnudsenKnMécanique des fluidesdistance libre/longueur caractéristique
Nombre de KossovitchKoTransfert thermiqueénergie d'évaporation/énergie de chauffer le solide mouillé
Nombre de KronigKrTransfert thermiqueforce électrostatique/force visqueuse
Nombre de KutateladzeKuTransfert thermique, arc électrique
Nombre de LagrangeLaMécanique des fluidesforce de pression/force visqueuse
Nombre de LaplaceLaMécanique des fluidestension superficielle et forces d'inertie/forces visqueuse (cf. nombre d'Ohnesorge)
Nombre de LavalLaMécanique des fluidesvitesse linéaire/vitesse du son critique
Nombre de LerouxLerMécanique des fluideséquivalent au nombre de cavitation
Nombre de LeverettJMécanique des fluideslongueur caractéristique d'une courbe/dimension caractéristique d'un pore
Nombre de LewisLeTransfert de masse et thermiquediffusivité massique/diffusivité thermique
Nombre de Lorentz[réf. nécessaire]LoMagnétohydrodynamiquevitesse/vitesse de la lumière, = vitesse réduite
Facteur de LorentzγRelativité
Nombre de LuikovLuTransfert thermique et de massediffusivité massique/diffusivité thermique (dans solide poreux)
Nombre de LukomskiiLuTransfert thermique et de masse
Nombre de LundquistLuMagnétohydrodynamiquevitesse d'Alfvén/vitesse de diffusion résistive
Nombre de LyashchenkoLyMécanique des fluides(force d'inertie)/(force visqueuse*force de gravité)
Nombre de LykoudisLyMagnétohydrodynamique
Nombre de MachMaMécanique des fluidesvitesse du fluide/vitesse du son
Nombre de MarangoniMgTransfert thermique, mécanique des fluides
Nombre de MargoulisMsTransfert thermique, transfert de masseéquivalent au nombre de Stanton
Nombre de MargulisMrTransfert thermique, transfert de masseéquivalent au nombre de Stanton
Nombre de MerkelMeTransfert de massemasse d'eau transférée par unité de différence d'humidité/masse de gaz sec
Nombre de MiniovichMnPorositétaille des pores/porosité
Nombre de MondtMoTransfert thermiquechaleur transférée par convection/chaleur transférée par conduction longitudinale dans surface d'échange
Nombre de MortonMoMécanique des fluides
Nombre de NahmeNaRhéologie
Nombre de NazeNaMagnétohydrodynamiquevitesse d'Alfven/vitesse du son
Nombre de NewtonNeMécanique des fluidesforce de résistance/force d'inertie
Nombre de NusseltNuTransfert thermiquetransfert thermique total/transfert thermique par conduction
Nombre d'OcvirkOcforce de charge sur roulement à billes/force visqueuse
Nombre d'OhnesorgeOhMécanique des fluidesforce visqueuses/tension superficielle
Nombre de PécletPeTransfert thermique et de massetransfert par convection/transfert par diffusion ou conduction
Nombre de Peel
Nombre de pipelinepnMécanique des fluidespression due au coup de bélier/pression statique
Nombre de plasticitéNpRhéologieéquivalent au nombre de Bingham
Constante d'Archimède Pi, π Mathématiques Rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre dans un plan euclidien.
Nombre de PoiseuillePsMécanique des fluidesforce de pression/force visqueuse
Nombre de PomerantsevPmTransfert thermiqueéquivalent au nombre de Damköhler
Nombre de PosnovPnTransfert thermique et de masse
Nombre de Prater
Nombre de PrandtlPrMécanique des fluides, transfert thermiquediffusivité de moment/diffusivité thermique
Nombre de PredvoditelevPdTransfert thermiquechangement de température d'un fluide/changement de température d'un corps immergé dans le fluide
Nombre de pressionKpMécanique des fluidespression absolu/différence de pression à travers une surface
Nombre de puissanceNpMécanique des fluidesforce d'entraînement(agitateur)/force d'inertie
Nombre de radiationNrTransfert thermique
Nombre de RamzinKsTransfert thermique
Nombre de RayleighRaMécanique des fluidesconvection naturelle/diffusion
Nombre de ReechReMécanique des fluidesinverse du nombre de Froude
Nombre de ReynoldsReMécanique des fluidesforce d'inertie/force visqueuse
Nombre de RichardsonRiMécanique des fluidespoussée d'Archimède/force turbulente
Nombre global de RichardsonBRNMétéorologieénergie potentielle de convection disponible/cisaillement vertical des vents dans un orage
Nombre de RomankovRoTransfert thermique
Nombre de RoshkoRoMécanique des fluideséquivalent au nombre de Stokes
Nombre de RossbyRoMécanique des fluidesforce d'inertie/force de Coriolis
Nombre de RouseRMécanique des fluides, transport sédimentairevitesse de chute/vitesse de frottement
Nombre de RussellRuMécanique des fluidesforce d'inertie/poussée d'Archimède
Nombre de SachsSaExplosion
Nombre de SarrauSaMécanique des fluideséquivalent au nombre de Mach
Nombre de SchillerSchMécanique des fluidesforce d'inertie/(force visqueuse*coefficient de traînée)
Nombre de SchmidtScMécanique des fluides, transfert de massediffusivité de moment/diffusivité massique
Nombre de SemenovSmTransfert de masse et thermiqueéquivalent au nombre de Lewis
Nombre de SherwoodShTransfert de massetransfert massique total/transfert massique par diffusion
Nombre de SmoluckowskiMécanique des fluidesinverse du nombre de Knudsen
Nombre de SommerfeldSMécanique des fluidesforce visqueuse/force de charge
Nombre de SpaldingBTransfert de masseévaporation (loi du d2)
Nombre de StantonStTransfert thermique et de massetransfert total/transfert par convection
Nombre de StefanSeTransfert thermiquechaleur sensible/chaleur latente (fusion)
Nombre de StewartSt, NMagnétohydrodynamiqueforce magnétique/force d'inertie
Nombre de StokesSMécanique des fluidesforce d'inertie particule/force d'entraînement(fluide)
Nombre de StrouhalSrMécanique des fluidesvitesse de vibration/vitesse de translation
Nombre de StuartSt, NMagnétohydrodynamiqueéquivalent au nombre de Stewart
Nombre de SuratmanSuMécanique des fluideséquivalent au nombre de Laplace
Nombre de TaylorTaMécanique des fluidesforce centrifuge/force visqueuse
Nombre de ThielemT, ϕCinétique chimique, transfert de massevitesse de réaction chimique/flux diffusif des réactifs vers le catalyseur
Nombre de ThomaσTMécanique des fluidesdifférence de pression due à la cavitation/différence de pression due à la pompe
Nombre de ThomsonThMécanique des fluideséquivalent au nombre de Strouhal
Nombre de ThringThTransfert thermiquecapacité thermique du fluide/chaleur transférée par radiation
Nombre de TomsToAéronautiquedébit de carburant/force de frottement
Vitesse réduiteβRelativitévitesse/(vitesse de la lumière dans le vide)
Nombre de WeberWeMécanique des fluidesforces d'inertie/tension superficielle
Nombre de WeissenbergWiRhéologieproduit du temps de relaxation d'un corps et de la vitesse de déformation/une distance (sous certaines conditions)
Nombre de WomersleyWoMécanique des fluidesforce d'inertie stationnaire/force visqueuse

Nombre adimensionel en cosmologie

Similitude des modèles réduits

Généralités

Divers domaines d'études conduisent à des expériences sur des modèles réduits, ce qui pose le problème de leur réalisme : les phénomènes aux deux échelles doivent être semblables. Par exemple, dans l'étude d'un écoulement autour d'un obstacle le sillage doit comporter, à l'échelle près, le même système de tourbillons ou de turbulence sur le modèle et sur le prototype.

Dire que les phénomènes sont semblables revient à dire que certains invariants doivent être conservés lorsqu'on change d'échelle. Ces invariants sont donc des nombres sans dimension qui doivent être construits à partir des grandeurs dimensionnelles qui caractérisent le phénomène. Dans ce qui suit, le cas des problèmes mécaniques, dans lesquels les trois grandeurs fondamentales sont la masse M, la longueur L et le temps T, sera seul considéré.

Dans ces conditions, toute grandeur physique est homogène à une expression de la forme Mα Lβ Tγ. Pour un nombre sans dimension, les exposants de chaque grandeur doivent être nuls.

Le premier problème consiste à déterminer quelles sont les grandeurs qui régissent le phénomène et celles qui sont négligeables (l'oubli d'une grandeur essentielle peut conduire à des résultats totalement erronés). Une fois que cette liste est établie, il faut en déduire les nombres sans dimension dont la conservation assurera la similitude.

Parmi ces nombres sans dimension, certains sont des rapports de longueurs : leur conservation caractérise la similitude géométrique qui n'appelle pas de commentaires particuliers. Seuls ceux qui font intervenir des grandeurs physiques présentent ici un intérêt.

Exemples

Si on considère l’écoulement d’un fluide dont la caractéristique essentielle est la compressibilité, l’expérience montre que les deux seuls paramètres significatifs, en plus de la géométrie, sont la vitesse V de l’écoulement non perturbé et un paramètre lié à la compressibilité, le plus simple étant la célérité du son dans le fluide notée a. Ces deux grandeurs ayant la même dimension, le nombre sans dimension à conserver s’en déduit immédiatement, c’est le nombre de Mach :

.

Si le fluide possède une surface libre, la compressibilité étant maintenant supposée négligeable, le problème se complique légèrement. Les paramètres en cause sont la vitesse V de dimension LT-1, une caractéristique linéaire D de dimension L et la pesanteur, qui maintient la surface libre, caractérisée par la grandeur g de dimension LT-2. Il faut alors chercher un nombre sans dimension de la forme

.

Pour que ce produit soit sans dimension, il faut que les exposants des deux grandeurs fondamentales L et T soient nulles (la masse M n’intervient pas) :

.

Dans ces deux équations à trois inconnues, l’exposant 1 est choisi arbitrairement pour la vitesse, ce qui conduit au nombre de Froude :

.

Si, alors qu’il n’y a plus de surface libre, la viscosité ne peut plus être négligée, outre V et D, il faut introduire la masse spécifique ρ du fluide et sa viscosité μ. Un calcul analogue au précédent conduit au nombre de Reynolds :

.

.

Commentaire

Dans une expérience pratique, il est souvent impossible de satisfaire simultanément plusieurs conditions de similitude. Ainsi, lors du déplacement d'une maquette de navire, il faudrait en principe respecter la similitude de Reynolds pour décrire les frottements sur la coque et la similitude de Froude pour décrire le sillage sur la surface libre. Une inspection rapide des formules montre qu'une réduction de l'échelle devrait entraîner à la fois une réduction et une augmentation de la vitesse – sauf à pouvoir jouer sur la masse spécifique du fluide, sa viscosité ou la gravité. Dans ce cas il faut respecter la similitude la plus importante, généralement la similitude de Froude. Si les contraintes, essentiellement financières, permettent d'atteindre une échelle suffisamment grande pour que l'effet d'échelle lié au non-respect de la similitude de Reynolds soit faible, le problème est ignoré. Sinon, il faut appliquer aux résultats une correction numérique déduite d'autres expériences.

Interprétation des résultats d'essais

Dans ce qui précède, les nombres sans dimension sont considérés comme des marqueurs d'un phénomène bien déterminé : si l'un d'entre eux est modifié, les résultats doivent en principe changer. Quand des essais systématiques sont effectués pour obtenir des lois expérimentales, la présentation la plus efficace consiste à donner les résultats sous la forme d'une loi qui relie un nombre sans dimension à d'autres nombres sans dimension.

Une analyse plus approfondie peut même donner une idée sur la forme des lois à rechercher. Cette analyse peut s'appuyer sur le théorème de Buckingham mais une méthode plus élémentaire, due à lord Rayleigh, peut être utilisée dans les cas simples. On trouvera ci-dessous le canevas du calcul pour le problème classique de la force exercée sur un obstacle par l'écoulement d'un fluide que l'on supposera visqueux mais incompressible et sans surface libre. Les variables en cause, qui ne dépendent que de la masse M, de la longueur L et du temps T, sont

  • la force F de dimension MLT-2,
  • une dimension D caractéristique de l'obstacle, de dimension L,
  • l'incidence θ de l'écoulement par rapport à l'obstacle, qui ne dépend d'aucune des variables de base,
  • la vitesse V de l'écoulement, de dimension LT-1,
  • la masse spécifique ρ du fluide, de dimension ML-3,
  • sa viscosité μ de dimension ML-1T-1.

Il faut exprimer la force comme une fonction inconnue des autres variables :

Cette fonction peut être considérée comme une sorte de série contenant des monômes dans lesquels les différentes grandeurs sont élevées à des puissances inconnues multipliés par un coefficient k sans dimension :

Une identification analogue à celle qui a été évoquée pour le nombre de Froude élimine trois des exposants et conduit à écrire la formule sous la forme :

qui contient deux paramètres indéterminés. La série se transforme en une fonction qui s'écrit sous la forme habituelle faisant intervenir une aire A caractéristique à la place du produit D2 :

Cette formule ne signifie pas que la force est proportionnelle au carré de la vitesse. En effet, celle-ci intervient à travers le nombre de Reynolds et, en d'autres circonstances, elle pourrait dépendre aussi du nombre de Mach et du nombre de Froude. Il existe des cas dans lesquels cette proportionnalité est bien vérifiée mais c'est une conséquence des expériences, pas de l'analyse dimensionnelle. Celle-ci ne peut qu'indiquer la forme la plus efficace pour décrire les lois physiques mais pas leur contenu.

Pour mettre en forme des résultats d'essais, cette formule s'écrit comme un nombre sans dimension fonction de deux autres nombres sans dimension :

Notes et références

  1. Bureau international des poids et mesures, « 1.8 Grandeur sans dimension », Vocabulaire international de métrologie.
  2. Site du Bureau international des mesures
  3. Bernard Stanford Massey, Measures in science and engineering : their expression, relation and interpretation, Halsted Press, , 216 p. (ISBN 0853126070)
  4. (en) Carl W. Hall, Laws and Models: Science, Engineering, and Technology, CRC Press, , 524 p. (ISBN 0849320186)
  5. (en) John P. Catchpole et George Fulford, « DIMENSIONLESS GROUPS », Industrial & Engineering Chemistry, vol. 3, no 58, , p. 46-60 (DOI 10.1021/ie50675a012)
  6. N.S. Lang, « A compilation of nondimentional numbers », sur NASA, (consulté le 28 avril 2010)

Voir aussi

Articles connexes

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