Groupe de Klein

En mathématiques, le groupe de Klein (ou Vierergruppe), du nom de Felix Klein, est le plus petit groupe non trivial qui ne soit pas cyclique.

Ne doit pas être confondu avec Groupe kleinien (en).

Définition

Il a quatre éléments ; tous, sauf l'élément neutre, ont un ordre égal à 2, et le produit de deux éléments distincts d'ordre 2 est égal au troisième.

Propriétés

  • C'est un groupe abélien, et il est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ, produit direct du groupe d'ordre 2 par lui-même.
  • Il est aussi isomorphe au groupe diédral D4 d'ordre 4.
  • Géométriquement, en deux dimensions le groupe de Klein est le groupe des isométries laissant globalement invariant un rectangle ou un losange (qui ne sont pas des carrés). C'est pourquoi on l'appelle parfois le groupe du retournement d'un matelas. Les quatre éléments sont alors l'identité, les deux réflexions selon les médianes et la rotation de 180° de centre le centre du polygone. Si la figure est un carré il y a en plus les deux réflexions selon les diagonales et les rotations d'angles 90° et 270° soit 8 éléments qui forment alors le groupe diédral D8 d'ordre 8.
  • Le groupe de Klein est souvent symbolisé par la lettre V (pour Vierergruppe). Si l'on note V = { 0, e, f, g } le groupe de Klein avec une loi additive « + », alors cette loi a pour table :
+ 0 e f g
0 0efg
e e0gf
f fg0e
g gfe0
On constate que la loi du groupe de Klein est involutive :  xV, x + x = 0
  • Le groupe de Klein peut être muni — par l'ajout d'une seconde loi, notée multiplicativement et distributive par rapport à la loi additive — d'une structure de corps, le corps fini à quatre éléments, d'élément nul 0. Si l'on choisit e comme élément neutre pour la multiplication, sa table est :
× 0 e f g
0 0000
e 0efg
f 0fge
g 0gef



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Application en ethnologie

Dans Les Structures élémentaires de la parenté, l’ethnologue Claude Lévi-Strauss, aidé du mathématicien André Weil, dégage le concept de structure élémentaire de parenté en utilisant la notion de groupe de Klein[1]. Dans La Structure des mythes, Lévi-Strauss réutilisera les groupes de Klein pour établir la formule canonique du mythe.

Notes

  1. Paul Jolissaint, Notes de lecture : Groupes et ethnologie : version HTML ou version PDF.
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