Groupe résoluble

En mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions.

Histoire

La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, etc.).

Définition

Un groupe G est résoluble lorsqu'il existe une suite finie G0, G1, …, Gn de sous-groupes de G telle que :

où pour tout i ∈ [0,n–1], Gi est un sous-groupe normal de Gi+1 et le groupe quotient Gi+1/Gi est abélien ( est le sous-groupe trivial de G).

G0, G1, …, Gn est donc une chaîne normale (en) dont tous les facteurs sont abéliens.

La suite G0, G1, …, Gn est dite suite de résolubilité de G. Si pour tout i∈[0,n–1], Gi ≠ Gi+1 (c’est-à-dire qu'il s'agit de sous-groupes propres), on l'appelle suite de résolubilité sans répétition.

Un groupe est résoluble si et seulement si sa suite dérivée est stationnaire à {e}. Le plus petit entier naturel n tel que Dn(G) = {e} est alors appelé la classe de résolubilité de G. Un groupe non trivial G est donc résoluble de classe n (≥ 1) si et seulement si son groupe dérivé D(G) est résoluble de classe n – 1.

Propriétés

  • Les groupes résolubles de classe ≤ 1 sont les groupes abéliens.
  • Tout sous-groupe d'un groupe résoluble est résoluble.
  • Tout groupe quotient d'un groupe résoluble (par un sous-groupe normal) est résoluble (ce qu'on peut reformuler en : s'il existe un morphisme de groupes surjectif d'un groupe résoluble sur G, alors G est résoluble).
  • Si H est distingué dans G et est résoluble de classe q et G/H est résoluble de classe p, alors G est résoluble de classe ≤ p + q.
  • Un groupe simple est résoluble si et seulement s'il est commutatif, ce qui a lieu si et seulement si c'est un groupe d'ordre premier (donc cyclique fini).
  • Un groupe fini est résoluble si et seulement si, dans « sa » suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient est d'ordre premier (puisque pour un groupe résoluble, les quotients d'une suite de Jordan-Hölder sont à la fois simples et résolubles).
  • Un groupe d'ordre n est résoluble si et seulement s'il vérifie la « réciproque » partielle suivante du théorème de Lagrange : pour tout diviseur d de n tel que d et n/d soient premiers entre eux, G possède un sous-groupe (de Hall) d'ordre d.

Exemples

  • Tout groupe d'ordre < 60 est résoluble.
  • Pour n ≥ 5, le groupe alterné An est simple et non abélien, donc non résoluble.
  • Le groupe symétrique Sn n'est donc résoluble que si n ≤ 4.
  • Tous les groupes nilpotents sont résolubles.
  • Le groupe des matrices n×n triangulaires supérieures inversibles à coefficients dans un anneau commutatif A est résoluble, comme extension du groupe abélien (A×)n par le groupe nilpotent Hn(A).
  • Si G est un groupe fini dont tous les sous-groupes propres sont nilpotents, alors G est résoluble (c'est le théorème de Schmidt).
  • Essentiellement via la commutativité des opérations et via l'isomorphisme d'algèbres de Z/30Z avec Z/6ZxZ/5Z, le groupe Z/30Z est résoluble. En effet, identifions Z/6Zx{0] avec Z/6Z... On a alors, en ne considérant évidemment que l'addition,
{0} est distingué dans Z/2Z est distingué dans Z/6Z est distingué dans Z/30Z
En utilisant le même type de décomposition, et en considérant cette fois le groupe des unités de Z/30Z, on obtient que ((Z/30Z)x,x) est résoluble. De même, pour n'importe que nombre premier pn, (Z/pn#Z,+) est résoluble et ((Z/pn#Z)x,x) est résoluble, où pn# désigne la primorielle de pn.

Théorème de Feit-Thompson

Tout groupe fini d’ordre impair est résoluble.

Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) K. Doerk et T. Hawkes, Finite Soluble Groups, Berlin, de Gruyter, 1992
  • (en) J. C. Lennox et D. J. S. Robinson, The theory of infinite soluble groups, Oxford University Press, 2004

Articles connexes

  • Groupe métabélien (en) (i. e. de classe de résolubilité 2)
  • Groupe polycyclique (en) (i. e. groupe résoluble noethérien (en) ou, ce qui est équivalent, résoluble par une chaîne normale dont tous les facteurs sont cycliques)
  • Groupe super-résoluble (résoluble par une chaîne normale à facteurs cycliques, avec Gi normal non seulement dans Gi+1 mais dans G)
  • Groupe virtuellement résoluble (un groupe qui possède un sous-groupe résoluble d’index fini)
  • Nombre résoluble (entier n ≥ 1 tel que tout groupe d'ordre n soit résoluble)
  • Portail de l’algèbre
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.