Hiérarchie de Borel

La hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique X comme une réunion croissante d'ensembles de parties de X, indexée par le premier ordinal non dénombrable.

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Notations préliminaires

Soit un ensemble de parties d'un ensemble X. On note :

  • l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de  :
  • l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de  :

Les lettres grecques σ et δ représentent respectivement les mots allemands désignant la réunion (Summe) et l'intersection (Durchschnitt)[1].

On note par ailleurs ω1 le premier ordinal non dénombrable, c'est-à-dire l'ensemble des ordinaux dénombrables.

Définition de la hiérarchie de Borel

Soient X un espace topologique métrisable, G l'ensemble de ses ouverts et F l'ensemble de ses fermés (F est l'initiale de « fermé », et G celle de « Gebiet » : « domaine (en) » en allemand)[1].

On initialise une induction transfinie sur l'ordinal αω1 en notant :

Puis, on définit alors par induction transfinie deux familles d'ensembles :

Finalement pour chaque ordinal dénombrable α, on note :

Par exemple :

  • Δ0
    1
    est l'ensemble des parties de X qui sont à la fois ouvertes et fermées ;
  • Σ0
    2
    , également noté[2] Fσ, est l'ensemble des unions dénombrables de fermés ;
  • Π0
    2
    , également noté[2] Gδ, est l'ensemble des intersections dénombrables d'ouverts[3] ;
  • Σ0
    3
    , également noté Gδσ, est l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de Π0
    2
    = Gδ ;
  • Π0
    3
    , également noté Fσδ, est l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de Σ0
    2
    = Fσ.

Les ensembles Σ0
α
, Π0
α
et Δ0
α
sont respectivement appelés classes additives, multiplicatives et ambiguës. La famille ordonnée par inclusion formée par la totalité de ces classes (pour αω1) est appelée la hiérarchie de Borel.

Propriétés élémentaires

  • Les classes additives sont closes par unions dénombrables, et les classes multiplicatives sont closes par intersections dénombrables.
  • Pour chaque ordinal dénombrable α, les éléments de Σ0
    α
    sont les complémentaires des éléments de Π0
    α
    .
  • Pour tout ordinal dénombrable α, Δ0
    α
    est une algèbre d'ensembles.
  • Les classes de la hiérarchie de Borel sont emboitées les unes dans les autres comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les flèches symbolisant l'inclusion :

Exhaustion de la tribu borélienne

Si l'on note la tribu borélienne sur X, on peut montrer que :

Classes de Borel de fonctions

Une fonction f : XY (avec X et Y métrisables) est dite Borel-mesurable de classe α si pour tout ouvert U de Y, f−1(U) appartient à la classe additive Σ0
α
+1
de X ou encore : pour tout fermé F de Y, f−1(F) appartient à la classe multiplicative Π0
α+1
.

Les fonctions de classe de Borel 0 sont donc les fonctions continues, tout comme les fonctions de classe de Baire 0.

Toute fonction de classe de Baire 1 est de classe de Borel 1, autrement dit : pour toute fonction f : XY limite simple d'une suite de fonctions continues et tout ouvert U de Y, f−1(U) est un Fσ.

On démontre exactement de la même façon[4],[5] que plus généralement, toute limite simple d'une suite de fonctions de classe de Borel α est de classe de Borel α + 1.

On en déduit facilement que toute fonction de classe de Baire α est de classe de Borel α si l'ordinal α est fini, et α + 1 s'il est infini (en écrivant α = λ + n avec n entier et λ nul ou ordinal limite, et en raisonnant par récurrence et induction)[6].

La réciproque est fausse en général[7], mais vraie si Y = [0, 1]κ avec κ fini ou dénombrable : c'est le théorème de Lebesgue-Hausdorff[6],[8].

Notes et références

  1. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], 1978, p. 12.
  2. Cette terminologie est due à Felix Hausdorff : cf. Rudin 1978, p. 12.
  3. Une propriété satisfaite par tous les éléments d'un Gδ dense est dite générique. Il arrive qu'on qualifie de « génériques » les éléments de l'ensemble eux-mêmes.
  4. Casimir Kuratowski, Topologie, vol. 1, Varsovie, PAN, , 4e éd. (1re éd. 1933), p. 293 (§ 27, VIII).
  5. (en) Gustave Choquet, Lectures on Analysis, vol. 1, W. A. Benjamin, , p. 135-136.
  6. Kuratowski 1958, p. 299-300.
  7. Par exemple pour X = [0, 1] et Y = {0, 1}, la fonction caractéristique de {1} est de classe 1 au sens de Borel (le singleton et son complémentaire sont des Fσ) mais pas au sens de Baire.
  8. (en) R. W. Hansell, « On Borel mappings and Baire functions », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 194, , p. 195-211 (lire en ligne).

Voir aussi

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