Intégrabilité

En mathématiques, l'intégrabilité d'une fonction est sa capacité à pouvoir être intégrée, c'est-à-dire à avoir une intégrale.

Intégrabilité au sens de Riemann

Cas des fonctions quelconques

Soit f une fonction continue sur un intervalle réel I — ou, plus généralement, localement intégrable, c'est-à-dire intégrable sur tout segment inclus dans I — et à valeurs réelles ou complexes.

On dit que f est intégrable sur I si l'intégrale impropre

converge.

Cas des fonctions positives

Soit f localement intégrable sur I et à valeurs réelles positives.

On démontre que f est intégrable sur I si et seulement s'il existe un réel M tel que pour tout segment [a, b] inclus dans I

et qu'alors, l'intégrale de f sur I est la borne supérieure de ces intégrales.

Intégrabilité au sens de Lebesgue

Soient (X, 𝒜, μ) un espace mesuré et f une fonction sur X, à valeurs dans ou et 𝒜-mesurable. On dit que f est intégrable sur X si

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