Intégrale d'Itō

L'intégrale d'Itō, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itō, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques.

Elle généralise de façon stochastique l'intégrale de Stieltjes. L'intégrande H et l'intégrateur sont tous deux des processus stochastiques :

H est un processus carré-intégrable localement adapté au filtre (au sens probabiliste) généré par X[1], qui est un mouvement brownien ou, de façon plus générale une semi-martingale. Le résultat de l'intégration, Y, est aussi un processus stochastique.

Description

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) ainsi que un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à , alors l'intégrale d'Itô

est définie par la limite en moyenne quadratique de

lorsque le pas de la partition de tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général ; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

Propriétés

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par , est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: . Cette dernière intégrale est « classique », c'est-à-dire qu'elle est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.

Notes et références

  1. Revuz et Yor 1999, Chapter IV

Bibliographie

  • (en) Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Berlin, Springer, (ISBN 3-540-57622-3)

Articles connexes

  • Portail des probabilités et de la statistique
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