Inverse

En mathématiques, l'inverse d'un nombre non nul x (qui peut être un entier, un réel, un complexe…) est le nombre qui, multiplié par x, donne un. On le note x−1 ou .


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Une abstraction de cette notion est celle d'inverse dans un anneau, par exemple : de matrice inverse.

Exemples

  • Dans l'ensemble des entiers relatifs, seuls1 et - 1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement.
  • Dans l'ensemble ℝ des nombres réels, l'inverse de 2 est 12 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25. La fonction inverse est l'application qui à tout réel non nul associe son inverse.
  • Dans l'ensemble ℂ des nombres complexes, l'inverse de l'unité imaginaire i est –i car i × (–i) = 1. Plus généralement, l'inverse d'un nombre complexe est le nombre
  • Dans l'ensemble des quaternions, l'inverse d'un quaternion est le quaternion , où est le conjugué quaternionique de q,soit . Attention, la multiplication d'un quaternion n'est pas commutative.
  • Dans l'anneau ℤ/10ℤ, l'inverse de 3 est 7 (car 3 × 7 = 21 est congru à 1 modulo 10), mais 2 n'a pas d'inverse.
  • Dans l'anneau des matrices 2×2, la matricea pour inversecar A×B est égal à la matrice identité d'ordre 2.
  • Dans le monoïde (pour la composition) des applications d'un ensemble fixé dans lui-même, les applications qui possèdent des inverses à gauche sont les injections et celles qui possèdent des inverses à droite sont les surjections. Il en est de même dans l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel.

Dans un groupe (G, ×) dont la loi de composition interne × est notée multiplicativement et dont l’élément neutre est noté 1, l'élément symétrique d'un élément x de G est encore appelé l'inverse de x (alors que pour une loi notée additivement, l'élément symétrique est appelé l'opposé).

Attention, lorsque f est à la fois une fonction numérique et une bijection, à ne pas confondre son inverse avec sa bijection réciproque f −1 :

.

Exemple pour  : .

Somme infinies d'inverses et propriétés intéressantes

(série harmonique)

(série harmonique inversée)

, et plus généralement, la fonction zêta de Riemann , où est la valeur absolue du nombre de Bernoulli

Seuls deux nombres sont égaux à l'inverse de leur opposé (soit ), i et i (car la résolution de l'équation mène à la résolution de .

Diviser par un nombre b revient à multiplier par l'inverse de b ,


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