Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un espace métrique dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique[1]. C'est du moins la définition initialement donnée par Benoît Mandelbrot[2], mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.

Fractales déterministes

δ < 1

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
NomIllustrationRemarques
0 ⇒ donc pas une fractale mais dim box-counting = 10Nombres rationnelsLa dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. Ajoutons que la dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différent s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R[1].
Calculé0.538Attracteur de FeigenbaumL'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale[3].
0,6309Ensemble de CantorConstruit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la n-ième itération, le segment central de longueur . Sa dimension fractale vaut alors et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec [4].
0.6942Ensemble de Cantor asymétriqueRemarquer que la dimension n'est plus , ni même (cas symétrique ci-dessus avec )[5]. Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable.

(nombre d'or).

0.69897Nombres réels avec décimales pairesRappelant un ensemble de Cantor[1].
0,7325Fractale UNUFractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc.

1 ≤ δ < 2

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
NomIllustrationRemarques
11.0000Ensemble de Smith-Volterra-CantorConstruit en retirant le quart, puis le seizième, le 64e… central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.
1.0000Courbe de Takagi ou Blanc-mangerDéfinie sur l'intervalle unité par , où est la fonction « dents de scie ». Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg : avec . La dimension de Hausdorff vaut [6].
calculé1.0812Ensemble de Julia z² + 1/4Ensemble de Julia pour c = 1/4[7].
Solution s de 1.0933Frontière de la fractale de RauzyReprésentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci : , et [8]. est l'une des deux racines complexes conjuguées de .
1,12915Île de GosperBaptisée par Mandelbrot (1977). Frontière de la courbe de Gosper.
Mesuré (Box counting)1.2Ensemble de Julia pour c=i (dendrite)Ensemble de Julia pour c = i
1.2083Fractale du mot de Fibonacci à 60°Construite à partir du mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous [9]. Avec (nombre d'or).
1.2107Frontière du tame twindragonUn des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille)[10].
1.2465Frontière de la fractale du mot de FibonacciConstruite à partir du mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous [9]. Avec (nombre d'or).
1,26Attracteur de HénonLa carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0.3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ.
1,2619Courbe de KochEn juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.
1,2619Frontière de la courbe TerdragonL-System : semblable à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.
1,2619Carré de CantorEnsemble de Cantor en deux dimensions.
calculé1,2683Ensemble de Julia pour z²-1Ensemble de Julia pour c=-1[7].
Mesuré (box-counting)1,3Fractale Beryl pour k=1Pour k=1. La fractale Béryl est définie par avec x et y complexes, c un point du plan complexe, et la coupe dans le plan [11]
calculé1,3057Baderne d'ApolloniusVoir[7]
calculé (box-counting)1,328Fractale d'inversion à 5 cerclesL'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir[12]
calculé1.3934Lapin de DouadyEnsemble de Julia pour c=-0,123+0.745i[7].
Mesuré (box counting)1,42 +/- 0,02Fractale de NewtonFrontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'équation par la méthode de Newton.
1,4649Fractale de VicsekConstruit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.
1,4649Courbe de Koch quadratique (type 1)On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.
1,5000Courbe de Koch quadratique (type 2)Appelée également « saucisse de Minkowski ».
(supposé exact)1.5000une fonction de Weierstrass : La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass définie par avec et est majorée par Il est conjecturé qu'il s'agit de la valeur exacte. Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus[1].
1,5236Frontière courbe du dragonCf. Chang & Zhang[13].
1.5236Frontière du twindragonUn des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille)[10].
1,5849Arbre à trois branchesChaque branche porte trois branches (ici 90° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.
1,5849Triangle de SierpińskiC'est également le triangle de Pascal modulo 2.
1,5849Courbe de Sierpiński en pointe de flècheMême limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.
1,5849Frontière de la fractale de l'équerre (en) (T-square)
1,61803 = un dragon d'orConstruit avec deux homothéties de rapport et , avec . La dimension vaut car . Avec (nombre d'or).
1,6309Triangle de Pascal modulo 3D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est (cf. Stephen Wolfram[14])
1,6309Hexagone de SierpinskiConstruit à la manière du tapis de Sierpinski, sur un réseau hexagonal, avec 6 similitudes de rapport 1/3. On y remarque l'omniprésence du flocon de Koch.
1,6379Fractale du mot de FibonacciFractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F23 = 28657 segments[9]. Avec (Nombre d'or).
Solution de 1.6402Attracteur d'un IFS avec 3 similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à simulitudes de ratio , a pour dimension de Hausdorff , solution de l'équation : [1].
1,6826Triangle de Pascal modulo 5D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est (cf. Stephen Wolfram[14])
Mesuré (box-counting)1.7Attracteur d'IkedaPour les valeurs de paramètres a=1, b=0.9, k=0.4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda . Dérive d'un modélisation d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs[15].
1,7227Fractale pinwheelConstruite à partir du pavage en moulin à vent de John Conway.
1,7712Hexagone de SierpinskiConstruit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).
log(7) / log(3) 1.7712 Fractal H-I de Rivera En partant d'un carré divisant ses dimensions en trois parties égales pour former neuf carrés auto-similaires avec le premier carré, deux carrés du milieu (celui du dessus et celui du dessous du carré central) sont supprimés dans chacun des sept carrés non éliminés le processus est répété, donc il continue indéfiniment.
1,7848Courbe de Koch à 85°, fractale de CesàroGénéralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.
1.8272Une fractale auto-affineConstruite itérativement à partir d'une grille sur un carré, avec . Sa dimension de Hausdorff égale [1] avec et le nombre d'éléments dans la colonne k. La dimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.
1,8617Flocon pentagonal (en) (pentaflake) Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici, est le nombre d'or et vaut
solution de 1.8687L'"arbre des singes"Cette courbe apparaît sous ce nom dans (Mandelbrot 1982). Elle est basée sur 6 homothéties de rapport 1/3 et 5 homothéties de rapport [16].
1,8928Tapis de Sierpiński
1,8928Cube de CantorEnsemble de Cantor en trois dimensions.
1,8928Produit cartésien de la courbe de von Koch et de l'ensemble de CantorGénéralisation : Soit F×G, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors dimH(F×G) = dimH(F) + dimH(G)[1].
Estimé1,9340Frontière de la fractale de LévyEstimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.
1,974Pavage de PenroseCf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[17]

δ = 2

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
NomIllustrationRemarques
2Frontière de l'ensemble de MandelbrotLa frontière a la même dimension que l'ensemble[18].
2certains ensembles de JuliaPour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2[18].
2Courbe de Sierpiński (en)Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.
2Courbe de HilbertPeut être étendue à trois dimensions.
2Courbe de Peanoet une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.
2Courbe de Moore (en)Peut être étendue à 3 dimensions.
2Courbe de LebesgueContrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3[19]..
2Courbe du dragonSa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang[13])
2Courbe "Terdragon"L-System : F→ F+F-F ; angle=120°.
2Courbe de Peano-GosperSa frontière est l'île de Gosper.
Solution de 2Courbe remplissant le flocon de KochProposée par Mandelbrot en 1982[20], elle remplit le flocon de Koch. Elle est basée sur 7 similitudes de rapport 1/3 et 6 similitudes de rapport .
2Tétraèdre de SierpinskiConséquence de sa dimension 2, sa surface reste inchangée d'itération en itération, et ce, jusqu'à l'infini[21].
2Fractale H (en)Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.
2Arbre de PythagoreChaque carré génère deux carrés de côté réduit de 1/racine(2).
2Fractale en croix grecqueChaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

2 < δ < 3

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
NomIllustrationRemarques
Mesuré2.01 +-0.01Attracteur de RösslerLa dimension fractale de l'attracteur de Rössler est légèrement supérieure à 2. Pour a=0,1, b=0,1, et c=14 elle est estimée entre 2,01 et 2,02[22],[23].
Mesuré2.06 +-0.01Attracteur étrange de LorenzPour les paramètres de l'attracteur: v=40,=16 et b=4[24].
2,3219Pyramide fractaleChaque pyramide est substituée par 5 pyramides. Ne pas confondre avec le tétraèdre de Sierpinski, il s'agit de pyramides à base carrée.
2,3296Dodécaèdre fractalChaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres[21].
2,33Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).
2,47Interstices des sphères d'ApolloniusBaderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert[25].
2,50Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).
2,5237Hypercube de Cantorpas de représentation possibleEnsemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à
2,529Cube de JérusalemSon rapport d'homothétie est irrationnel, il vaut . Une itération sur un cube n construit huit cubes de rang suivant n + 1 et douze cubes de rang n + 2. A comparer avec l'Éponge de Menger, dont le volume tend aussi vers zéro.
2,5819Icosaèdre fractalChaque icosaèdre est remplacé par 12 icosaèdres[21].
2,5849Octaèdre fractalChaque octaèdre est remplacé par 6 octaèdres[21].
2.5849Surface de KochChaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.
2,59Fractale en croix grecque en trois dimensionsChaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.
2.7095Von Koch en 3D (fractale Delta)Part d'un polyèdre de 6 faces isocèles ayant des côtés de ratio 2:2:3 . remplacer chaque polyèdre pas trois copies de lui-même, 2/3 plus petites[26].
2,7268Éponge de MengerSa surface a une dimension fractale de .
2,8073Heptaèdre fractalConstruit avec 7 homothéties de rapport 1/2. Ses faces sont constituées de triangles de Sierpinski. Son volume tend vers zéro.

δ = 3

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
NomIllustrationRemarques
3Courbe de Hilbert en trois dimensionsCourbe de Hilbert étendue à trois dimensions
3Courbe de Lebesgue en trois dimensionsCourbe de Lebesgue étendue à trois dimensions[19]
3Courbe de Moore (en) en trois dimensionsCourbe de Moore étendue à trois dimensions.
33MandelbulbExtension de l'ensemble de Mandelbrot (puissance 8) à 3 dimensions[27].

Fractales aléatoires et naturelles

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
NomIllustrationRemarques
1/20.5Zéros du graphe d'une fonction brownienne (Processus de Wiener)Les zéros du graphe d'une fonction brownienne constituent un ensemble nulle part dense, de mesure de Lebesgue 0, avec une structure fractale[1],[28].
Solution de avec et 0.7499Ensemble de Cantor aléatoire 50 % / 30 %À chaque itération, la longueur de l'intervalle de gauche est définie par une variable aléatoire : un pourcentage variable de la longueur du segment d'origine. Idem pour l'intervalle de droite, avec pour autre variable aléatoire . Sa dimension de Hausdorff satisfait alors l'équation : . ( est l'espérance mathématique de )[1].
Mesuré1,05Chromosome humain no 22Voir référence pour les détails de la méthode de calcul[29].
Solution de 1.144…Courbe de Koch avec intervalle aléatoireLa longueur de l'intervalle médian est une variable aléatoire à distribution uniforme dans (0;1/3)[1].
Mesuré1,24Côte de Grande-BretagneDimension fractale de la côte ouest de Grande-Bretagne, mesurée par Lewis Fry Richardson et citée par Benoît Mandelbrot[30].
1.2619Courbe de Koch avec orientation aléatoireOn introduit ici un élément de hasard qui n'affecte pas la dimension en choisissant aléatoirement, à chaque itération, de placer le triangle équilatéral au-dessus ou en dessous de la courbe[1].
1,33Frontière du mouvement brownien[31]
1,33Polymère en deux dimensionsSimilaire au mouvement brownien sans auto-intersection[32].
1,33Front de percolation, front de corrosion en deux dimensionsDimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59,3 %). C'est également la dimension fractale du front de corrosion[32].
1,40Agrégat d'agrégats en deux dimensionsDes agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1,4[32].
1.5Graphe d'une fonction Brownienne (Processus de Wiener)Graphe d'une fonction telle que, pour tout couple de réels positifs et , la différence de leurs images suit une distribution gaussienne centrée de variance = . Généralisation : Une fonction fractionnelle Brownienne d'index suit la même définition mais avec une variance = , dans ce cas, la dimension de Hausdorff de son graphe = [1].
Mesuré1,52Côte de NorvègeCf. Feder[33].
Mesuré1,55Marche aléatoire sans intersectionMarche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses.
1,66Polymère en trois dimensionsSimilaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection[32].
1,70Agrégat par diffusion en deux dimensionsEn deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1,70[32].
1.7381Percolation fractale à 75 % de probabilitéLe modèle de percolation fractale est construit par le remplacement progressif de chaque carré par une grille de 3x3 dans laquelle est placée une collection aléatoire de sous-carrés, chaque sous-carré ayant une probabilité p d'être retenu. La dimension de Hausdorff "presque certaine" égale [1].
7/41,75Frontière d'un amas de percolation en deux dimensionsLa frontière d'un amas de percolation peut également être simulée par une marche générant spécifiquement cette frontière ou en utilisant l'évolution de Schramm-Loewner (en)[34].
1,8958Amas de percolation en deux dimensionsSous le seuil de percolation (59,3 %), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48[32],[35]. Au-delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ».
2Mouvement brownienModélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2.
MesuréEnviron 2Distribution des amas de galaxiesMesuré à partir des résultats 2005 du Sloan Digital Sky Survey. Voir référence[36]
2,33Surface du chou-fleurChaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes.
2,4 ± 0,2Boule de papier froisséLe diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé[37]. Les plis se forment à toutes les échelles.
2,50Agrégat par diffusion en trois dimensionsEn trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2,5[32].
2.50Figure de LichtenbergLes décharges electriques arborescentes, dites figures de Lichtenberg, croissent à la manière d'une diffusion par agrégation[32].
2.5Surface BrownienneUne fonction , donne l'altitude d'un point telle que, pour deux incréments positifs et , suive une distribution Gaussienne centrée de variance = . Généralisation : Une surface Brownienne fractionnelle d'index suit la même définition mais avec une variance = , dans ce cas, sa dimension de Hausdorff = [1].
Mesuré2.52Amas de percolation en 3 dimensionsAu seuil de percolation, l'amas 3D de percolation par invasion a une dimension fractale de 2,52 environ[35].
Mesuré2.66Brocoli[38]
2.79Surface du cerveau humain[39]
2,88 - 2,97Surface pulmonaireLe réseau d'alvéoles pulmonaires forme une surface fractale proche de 3[32],[40]
Calculé3Corde quantiqueTrajectoire d'une corde quantique dont le point représentatif dérive au hasard[41].

Notes et références

  1. Falconer 2003, p. xxv.
  2. (en) C. Wayne Patty, Foundations of Topology, Jones & Bartlett Learning, (lire en ligne), p. 225.
  3. (en) On the metric properties of the Feigenbaum attractor DOI:10.1007/BF01007519.
  4. (en) The scattering from generalized Cantor fractals, arXiv:0911.2497.
  5. (en) K. Y. Tsang, « Dimensionality of Strange Attractors Determined Analytically », Phys. Rev. Lett., vol. 57, , p. 1390-1393 (lire en ligne).
  6. Hunt[Quoi ?], cité dans (en) B. B. Mandelbrot, Gaussian Self-Affinity and Fractals, Springer, (ISBN 978-0-387-98993-8, lire en ligne), p. ?[réf. non conforme].
  7. (en) « Hausdorff dimension and conformal dynamics III: Computation of dimension ».
  8. A. Messaoudi, « Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe », Acta Arithmetica, vol. 95, no 3, 2000, p. 195-223 [lire en ligne].
  9. (en) The Fibonacci Word fractal.
  10. On 2-reptiles in the plane, Ngai, 1999
  11. Béryl : Une fractale originale.
  12. (en) « Circle Inversion Fractals — Dimensions of Limit Sets ».
  13. (en) « On the Fractal Structure of the Boundary of Dragon Curve ».
  14. (en) Stephen Wolfram, « Geometry of binomial coefficients », .
  15. (en) « Estimating fractal dimension », .
  16. (en) « "Monkeys' Tree" Fractal Curve ».
  17. (en) P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, « On the fractal nature of Penrose tiling » [PDF].
  18. The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets, arXiv:math/9201282.
  19. « Courbe de Lebesgue », sur mathcurve (variantes 2D et 3D).
  20. Penser les mathématiques, Éditions du Seuil, 1982 (ISBN 2020060612).
  21. (en) Paul Bourke, « Platonic solid fractals and their complements ».
  22. J. Vedikunnel, « Les attracteurs étranges ».
  23. (en) The Rossler Attractor.
  24. (en) Mark J. Mcguinness, « The fractal dimension of the Lorenz attractor », Physics Letters, vol. 99A, 1983, p. 5-9 DOI:10.1016/0375-9601(83)90052-X abstract.
  25. (en) M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, « The fractal dimension of the Apollonian sphere packing » [archive du ] [PDF], .
  26. (en) « Hausdorff dimension of the Mandelbulb », sur fractalforums.com.
  27. (en) Peter Mörters, Yuval Peres, Oded Schramm, Brownian Motion, Cambridge University Press, 2010.
  28. (en) « Fractal dimension of human chromosome 22 » (IAFA 2003).
  29. (en) B. Mandelbrot, « How Long Is the Coast of Britain? (en) Statistical self-similarity and fractional dimension », Science, vol. 156, no 3775, , p. 636-638 (DOI 10.1126/science.156.3775.636, lire en ligne).
  30. (en) Gregory F. Lawler, Oded Schramm et Wendelin Werner, « The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 », (arXiv math/0010165v2).
  31. Sapoval 2001.
  32. (en) J. Feder, Fractals, Plenum Press, New York, 1988.
  33. (en) Robert M. Ziff, « Hull-generating walks », 1989 DOI:10.1016/0167-2789(89)90222-4.
  34. (en) Muhammad Sahimi, Applications of Percolation Theory, Taylor & Francis, 1994.
  35. (en) « Basic properties of galaxy clustering in the light of recent results from the Sloan Digital Sky Survey », arXiv:astro-ph/0501583v2.
  36. (it) A. Filipponi, Introduzione alla fisica, (ISBN 9788808070739).
  37. (en) Glenn Elert, « Fractal Dimension of Broccoli », sur The Physics Factbook.
  38. (de) Frank Grünberg, « Der Vater des Apfelmännchens », Technology Review, .
  39. (en) K. Lamrini Uahabi and M. Atounti, « New approach to the calculation of fractal dimension of the lungs - 2015 »
  40. (en) S. Ansoldi, « The Hausdorf dimension of a quantum string », sur Université de Trieste .

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann (ISBN 0120790610)
  • (en) Kenneth Falconer (en), Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, (1re éd. 1990) (ISBN 978-0-470-84862-3).
  • (en) Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co, (ISBN 978-0716711865)
  • (en) Heinz-Otto Peitgen (en), The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag (), (ISBN 0387966080)
  • Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, coll. « Champs », (ISBN 2-080-81466-4)

Articles connexes

Liens externes

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