Logique et raisonnement mathématique

La logique est le fondement du raisonnement mathématique.

Introduction

« Depuis les Grecs qui dit mathématique dit démonstration. »

 Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, in Introduction de Théorie des ensembles

La logique explique comment un fait ou une affirmation peut découler d'autres faits déjà admis. Un enchaînement de faits qui sont énoncés pour découler les uns des autres s'appelle une démonstration. On constate que calculer et démontrer sont les deux principales activités des mathématiques. Ici, nous nous intéressons à l'activité de démontrer. Pour démontrer quelque chose, il faut soit utiliser un langage spécifique (présenté dans d'autres articles spécialisés de Wikipédia, par exemple dans l'article déduction naturelle), soit garder le français avec un certain nombre de conventions qui ont pour but d'éliminer les erreurs et les ambiguïtés. La logique est donc, en mathématiques, la pratique de la rigueur ou de l'exactitude dans la pensée.

Des conventions de langage dans la pratique des mathématiques

Dès qu'on fait des mathématiques, on se place dans une théorie où l'on accepte un certain nombre de faits de base. Dans les exemples qui suivent, les faits de base sont ceux de la théorie des nombres réels, où l'on connaît les propriétés de l'addition, de la multiplication, de la relation d'ordre etc. Nous allons nous intéresser à l'enchaînement des raisonnements corrects que l'on peut faire à partir de ces faits de base acquis.

L'implication

Commençons pas examiner deux faits :

premier fait :
deuxième fait : .

Le deuxième fait découle du premier fait. En effet, si , nous pouvons remplacer par dans l'expression et nous constatons que .
Nous dirions donc que

  • implique

ou que

  • découle de

On écrit aussi

si       alors   

ou encore

est suffisante pour que

ou encore

est nécessaire quand .

Toutes ces formulations sont des conventions que les mathématiciens ont choisies[note 1] pour mettre de la rigueur dans leurs raisonnements. Dans ce que l'on vient de dire, ce qui lie à s'appelle une implication. Plus précisément l'affirmation que cette implication est vraie s'appelle une déduction, une déduction est une étape de base d'une démonstration.

La disjonction

En revanche, pouvons-nous dire

  • implique ?

Non, parce qu'avec on peut affirmer aussi que , en effet (3 x 1 ) . Pour pouvoir dire quelque chose avec les affirmations et , il faut les combiner pour former un seul fait. Ce fait est une nouvelle affirmation :

ou .

L'opération logique qui combine deux affirmations par un ou s'appelle une disjonction. On notera qu'il y a moins de variations de langage[note 2] sur la disjonction que sur l'implication. Et la théorie des équations du second degré nous dit que nous pouvons écrire :

implique ou

ou encore

si alors ou .

En fait, quand on écrit implique on s'aperçoit que dit quelque chose de plus fort que . En faisant une implication on perd de l'information. Or en écrivant ou on affaiblit l'affirmation , on perd aussi de l'information, mais pas de la même façon[note 3].

L'équivalence

Comment combiner deux faits en disant qu'il n'y a pas d'information perdue quand on passe de l'un à l'autre ou de l'autre à l'un, en disant qu'ils affirment exactement la même chose? Sur les faits ci-dessus cela s'écrit :

est équivalent à ou

ou bien

si et seulement si ou

ou bien

est nécessaire et suffisant pour que ou

ou bien

est une condition nécessaire et suffisante pour que ou .

Cette combinaison s'appelle une équivalence. Comme une équivalence va dans les deux sens on peut aussi écrire :

ou est équivalent à

ou bien

ou si et seulement si

ou bien encore

ou ssi qui est une forme raccourcie du précédent, etc.

Propositions et connecteurs

Jusqu’ici, nous avons parlé de faits ou d’affirmations. En logique, on emploie dans ce cas, le nom de proposition. Ainsi est une proposition. On peut même donner aux propositions des noms qui sont des lettres, par exemple, on pourra écrire implique . On peut voir donc que implique fonctionne un peu comme en arithmétique. On peut donc aussi « calculer » sur les propositions, on parle d'ailleurs de calcul des propositions quand on parle de cette façon de calculer. Mais à la différence de l'arithmétique, où on dit que est un opérateur, on dit que implique est un connecteur[note 4]. C'est plus une question d'habitude, chez les logiciens, que vraiment un concept différent. Nous avons vu trois connecteurs :

  • implique,
  • ou,
  • équivalent.

En arithmétique, on n'écrit pas plus , mais bien . En calcul des propositions, on utilise des notations comme pour les connecteurs et on écrit

  • pour implique ,
  • pour ou ,
  • pour équivalent à ,

mais nous utiliserons peu ces notations dans cet article.

La négation

On ne peut pas dire que implique . Par contre on peut dire que si vaut alors ne vaut pas : pour cela il faut pouvoir dire que l'on n'a pas . Pour cela, on introduit un connecteur qui ressemble au unaire en arithmétique, celui qui remplace par . Ce connecteur est appelé la négation et se note non. On peut donc écrire :

implique non

ou encore

si alors non .

La notation formelle de non est . On écrira au lieu de non . Mais très souvent, on utilisera une écriture encore plus condensée, à savoir .

La conjonction

Nous avons vu que l'on ne peut pas affirmer que

implique ,

par contre on peut renforcer la première proposition (celle qui est à gauche du implique) en disant que l'on cherche des qui sont plus grands que . Autrement dit, on veut ajouter la condition à . Pour cela on crée la proposition :

et .

On a introduit un nouveau connecteur et et grâce à lui on peut énoncer :

et implique .

Là nous commençons à entrevoir un petit problème. Est-ce que dans la proposition précédente nous avons voulu dire que nous avions d'une part

et d'autre part,

implique

ou bien est-ce que nous avons voulu dire que

et

implique

?

C'est bien la deuxième intention que nous avions en tête. Pour lever toute ambiguïté, on utilise des parenthèses et on écrit :

( et ) implique .

Le et se note formellement . Ainsi la proposition ci-dessus peut s'écrire[note 5] :

.

Des propositions valables quelque part et des propositions valables partout

Supposons que l'on ne veuille pas dire la proposition A vue plus haut:

pour ou pour l'expression s'annule

mais une autre proposition:

il y a un entier naturel quelque part (c'est-à-dire un ) pour lequel cette expression s'annule.

Nous écrirons :

Il existe tel que .

« Il existe » s'appelle un quantificateur.
Grâce à cette nouvelle construction logique, parce que nous savons que annule ,
nous pouvons écrire une proposition qui énonce qu'il y a un entier naturel qui annule  :

( implique )    implique    (Il existe tel que ).

Si, maintenant, je considère l'expression , je ne peux pas affirmer qu'il existe un qui l'annule.
Mais en revanche, je peux dire que pour tous les entiers naturels, elle ne s'annule pas. J'écris alors

Pour tout , .

« Pour tout » est aussi un quantificateur. On peut aussi écrire: Quel que soit , . Et encore: , dans la formulation qui ne veut pas mélanger le français avec la langue mathématique.

Des règles pour raisonner

Pour pouvoir raisonner il nous faut quelques règles. Par exemple il y a des règles sur l'implication, auxquelles les logiciens ont donné des noms.

L'élimination de l'implication

Ainsi nous pouvons dire que si nous avons et si nous avons implique alors nous avons . Cela veut dire que si nous avons pour but de démontrer , alors nous pourrons nous donner deux sous-buts (deux buts intermédiaires)[note 6] : démontrer et démontrer implique , alors seulement nous pourrons en utilisant la règle ci-dessus démontrer . Comme dans le deuxième sous-but, on avait une implication et que dans le but final, il n'y a plus d'implication. On appelle cette règle élimination de l'implication[note 7].

Par exemple, supposons que nous ayons démontré[note 8] que et puisque nous avons implique , nous pouvons en déduire que .

L'introduction de l'implication

Comme on vient de le voir, il faut que nous ayons des moyens de démontrer des implications. On utilise pour cela une règle qui « introduit » une implication. Elle fonctionne comme suit. Mettons que nous voulions démontrer implique . Nous ajoutons à nos hypothèses admises et nous essayons de démontrer . Si nous réussissons, nous pouvons affirmer implique et nous pouvons l'utiliser par la suite.

Il y a des règles pour les autres connecteurs comme ou ou et, mais aussi pour les quantificateurs.

La construction des raisonnements mathématiques

Dans cette section, on donne quelques « recettes » qu'ont les mathématiciens pour construire des démonstrations, quand ils veulent démontrer des faits.

Démonstrations élégantes

Outre la correction formelle, les mathématiciens s'accordent à juger certaines démonstrations (du même résultat) plus élégantes que d'autres, souvent parce qu'elles sont plus courtes, mais aussi par l'ingéniosité des arguments utilisés, ou par l'apparition de relations cachées avec d'autres résultats déjà connus.

Notes

  1. Voyez l'article Des nains sur des épaules de géants.
  2. On aurait pu écrire pt'être que pt'être que , mais les mathématiciens ne l'utilisent jamais !
  3. Dans le premier cas on a constitué une théorie (généralisation) et on l'exprime, dans l'autre cas on constate à partir des faits et l'on les énumère.
  4. Il s'agit d'un emprunt à la linguistique où ce terme existe et signifie « mot qui connecte des expressions ».
  5. Ce n'est pas du bon style mathématique de mélanger dans la même phrase des notations formelles comme ou et du français !
  6. Lors de la dernière coupe du monde de football, pour que la France soit championne en vainquant la Croatie, il fallait comme sous-objectifs que la France vainque la Belgique et que la Croatie vainque l'Angleterre.
  7. Aristote un grec du IVe av. J.-C. connaissait cette règle. Les logiciens qui nous l'ont transmise et qui parlaient latin, l'ont appelée du joli nom de modus ponens.
  8. Par exemple, parce que .

Bibliographie

  • Martin Gardner (trad. de l'anglais par Jeanne Peiffer), Haha ou l'Éclair de la compréhension mathématiqueAha! Insight (1978) »], Belin - Pour la Science, (ISBN 978-2-902918-06-5)

Voir aussi

  • Portail des mathématiques
  • Portail de la logique
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