Loi du zéro-un de Borel

La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques[1], par Émile Borel, en vue de la démonstration du théorème des nombres normaux, et en vue d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.

Pour les articles homonymes, voir Borel.
Ne doit pas être confondu avec loi du zéro-un de Kolmogorov.

Énoncé

Dans un espace probabilisé considérons une suite d'éléments de (ou "événements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :

Loi du zéro-un de Borel  Si les événements sont indépendants, alors
vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général est convergente ou divergente.

Limite supérieure d'ensembles

Définition   La limite supérieure d'une suite de parties d'un ensemble est l'ensemble des éléments de tels que l'assertion soit vérifiée pour une infinité d'indices .

En d'autres termes, on peut dire que si et seulement si l'ensemble est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout , on peut trouver tel que . Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que si et seulement si "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

La définition " si et seulement si appartient à une infinité de " peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties sont égales, il se peut que appartienne à pour une infinité d'indices , et il se peut donc que appartienne à sans pour autant qu' appartienne à une infinité de (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul ).

Voir aussi

Notes

  1. Émile Borel, « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 27, no 1, , p. 247-271 (ISSN 0009-725X et 1973-4409, DOI 10.1007/BF03019651, lire en ligne).

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