Lois de Fick

La loi de Fick décrit la diffusion de la matière dans un milieu binaire. Elle a été établie par Adolf Fick[1] en 1855.

La diffusion moléculaire d'un point de vue microscopique et macroscopique. Les molécules solubles sur le côté gauche de la barrière (ligne violette) diffusent pour remplir le volume complet. En haut : une seule molécule se déplace aléatoirement. Au milieu : Le soluté remplit le volume disponible par marche aléatoire. En bas : au niveau macroscopique, le côté aléatoire devient indétectable. Le soluté se déplace des zones où les concentrations sont élevées vers les zones à concentrations plus faibles. Ce déplacement est décrit par la loi de Fick.

Reliant le flux de matière au gradient de concentration, elle est analogue à l'équation de la chaleur introduite par Joseph Fourier[2] en 1822. Ce type de loi nommée loi de diffusion en mathématiques apparaît dans les systèmes décrivant un transport (masse, énergie, etc.) chaque fois que l'on peut séparer les échelles microscopiques d'un phénomène décrit par une équation cinétique comme l'équation de Boltzmann et les échelles du milieu continu macroscopique.

Cette loi, au départ empirique, a été justifiée et généralisée dans le cas d'un milieu multicomposant sous le nom d'équations de Stefan-Maxwell d'après les travaux de James Clerk Maxwell pour les gaz[3] en 1866 et Josef Stefan pour les liquides[4] en 1871.

Expression de la loi de Fick

Forme générale

La loi exprime une relation linéaire entre le flux de matière et le gradient de concentration de celle-ci :

avec

flux massique (kg.m-2.s-1),
masse volumique (kg.m-3),
coefficient de diffusion binaire (m2.s-1),
fraction massique (sans unité).

Propriété

Les quantités contenues dans l'équation sont telles que (symétrie de l'interaction entre les particules i et j) et (par définition de la fraction massique). On en déduit que la diffusion ne transporte pas globalement de masse, elle ne fait que répartir différemment celle-ci :

Cette propriété résulte en fait de la définition de la vitesse d'un fluide comme la vitesse d'ensemble (vitesse barycentrique, appelée généralement "vitesse", sans qualificatif) transportant globalement la masse et de la vitesse de diffusion transportant une composante de celle-ci par rapport au barycentre.

Pour un soluté

On peut exprimer cette loi sous une autre forme pour un milieu incompressible où en divisant par la masse molaire (kg.mol-1) du soluté :

avec

 :flux molaire (mol.m-2.s-1),
 :concentration molaire (mol.m-3).

On note que

Équation de conservation

On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive entraînée à la vitesse et comportant un terme de production volumique par :

Dans notre cas on prend , et , ce qui donne dans le cas général :

Dans le cas d'un liquide ou plus généralement d'un fluide incompressible, en divisant par M :

Cette loi de conservation est parfois appelée seconde loi de Fick, et la loi de Fick évoquée précédemment est alors appelée première loi de Fick pour les différencier. La seconde loi est en tout point analogue à l'équation de la chaleur. On dispose donc pour l'analyse de tout l'arsenal théorique et numérique liée à celle-ci.

Références

  1. (de) Adolf Fick, « Über Diffusion », Annalen der Physik und Chemie, vol. 94, , p. 59–86 (lire en ligne)
  2. Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, [détail des éditions].
  3. (en) James Clerk Maxwell, « On the dynamical theory of gases », The Scientific Papers of J. C. Maxwell, 1965, Volume 2, pp. 26–78
  4. (de) Josef Stefan, « Über das Gleichgewicht und Bewegung, insbesondere die Diffusion von Gemischen », Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien, 2te Abteilung a, 1871, 63, 63-124.

Articles connexes

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