Méthode de la transformée inverse

La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l'expression de sa fonction de répartition.

Méthode de la transformée inverse.

Le problème que résout cette méthode est le suivant :

Soit X une variable aléatoire dont la loi est décrite par la fonction de répartition F_X. On désire obtenir une suite de réalisations de X.

Cette méthode est fondée sur la propriété que la variable aléatoire U=F_X(X) est distribuée uniformément sur [0;1] dès que la fonction de répartition F_X est continue et strictement croissante sur ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ La distribution recherchée s'obtient donc comme l'ensemble des antécédents x des tirages u selon une distribution uniforme pour la fonction de répartition F_X. Autrement dit, la variable aléatoire F_X⁻¹(U) a pour fonction de répartition F_X, où U est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0;1].

Pour une formulation plus précise, voir le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

La plupart des langages de programmation permettant de produire des nombres pseudo-aléatoires de distribution uniforme, il suffit de calculer l'antécédent des nombres tirés selon la fonction de répartition F_X.

Pour certaines lois, on sait inverser F_X :

• la loi exponentielle de paramètre λ se tire comme ^-1⁄_λln(1-U) ;
• la loi de Cauchy standard se simule comme tan(π U);
• la loi logistique standard se simule comme -log^U⁄_1-U;
• la loi de Laplace se simule comme -sgn(U) log(1-2|U|).

Mais la plupart du temps, le calcul de l'antécédent est problématique: on ne sait pas obtenir x vérifiant F_X(x)=u, car on ne sait pas inverser la fonction F_X. Il faut alors procéder numériquement, pour résoudre en x l'équation F_X(x)-u=0, en utilisant au choix une fonction tabulée, la méthode de dichotomie, la méthode de la fausse position, la méthode de la sécante ou encore la méthode de Newton.