Matrice élémentaire

Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité[1].

Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes[2] :

Exemples

Opération effectuée sur la matrice identité I3type de matrice
échanger lignes 1 et 2matrice de permutation
multiplier ligne n°3 par 5matrice de dilatation
ajouter 5×ligne n°2 à la ligne n°3matrice de transvection

Propriétés

Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire.

Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A[3] (on retrouve ainsi que toute matrice élémentaire est inversible : son inverse correspond à l'opération élémentaire inverse).

En notant M la matrice élémentaire associée à une certaine opération élémentaire sur les lignes, effectuer sur A l'opération élémentaire correspondante sur les colonnes revient à multiplier A à droite par la transposée de M[3].

Remarque

Le premier type d'opérations élémentaires (permutation de deux lignes ou colonnes) est en fait superflu car il peut s'obtenir à partir des deux autres[4]. En effet,

Notes et références

  1. Renzo Cairoli, Algèbre linéaire, vol. 1, PPUR, (ISBN 978-2-88074-187-7, lire en ligne), p. 126.
  2. Cairoli 1991, p. 96.
  3. Cairoli 1991, p. 127.
  4. (en) Ward Cheney (en) et David Kincaid, Linear Algebra: Theory and Applications, Jones & Bartlett, (lire en ligne), p. 16.

Articles connexes

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