Morphisme

En mathématiques, le terme « morphisme » désigne une notion fondamentale permettant de comparer et de relier des objets mathématiques entre eux.

En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respecte certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.

Plus généralement, la notion de morphisme est l'un des concepts de base en théorie des catégories ; ce n'est alors pas forcément une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas forcément des ensembles.

Définitions

Cas général (théorie des modèles)

Soient et deux -structures, d'ensembles respectifs et . Un morphisme de dans est une application de dans telle que :

  • pour tout symbole de fonction -aire et pour tout on a (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
  • pour tout symbole de relation -aire et pour tout , si alors

désignant l'interprétation du symbole dans la structure .

Cas des monoïdes

Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application , entre deux monoïdes et , qui vérifie[1] :

  • ;
  • .

Cas des groupes

Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application , entre deux groupes et , qui vérifie :

  • .

On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence et .

Cas des anneaux

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :

  • ;
  • ;
  • .

dans lesquelles , et (respectivement , et ) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux et .

Cas des espaces vectoriels

Dans la catégorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixé, un morphisme est une application , entre deux K-espaces vectoriels et , qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :

  • est un morphisme de groupes de dans ;
  • ,

ce qui est équivalent à :

.

Cas des algèbres

Dans le cas de deux -algèbres unifères et , un morphisme vérifie :

  • est une application linéaire de dans ;
  • est un morphisme d’anneaux,

ce qui est équivalent à :

  • ;
  • ;
  • .

Cas des ensembles ordonnés

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que xy, on a f(x) ≼ f(y)[1],[2],[3].

La définition des morphismes d'ensembles préordonnés est identique[1].

Cas des espaces topologiques

Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Cas des espaces mesurables

Dans la catégorie des espaces mesurables, un morphisme est une fonction mesurable.

Classement

  • Un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
  • un isomorphisme est un morphisme entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme dans le sens inverse, tels que et sont les identités des structures ;
  • un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
  • un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme tel que : pour tout couple de morphismes de type (et donc aussi pour tout ), si , alors ;
  • un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme tel que : pour tout couple de morphismes de type (et donc aussi pour tout ), si , alors .

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.

Références

  1. (en) Nicolae Popescu et Liliana Popescu, Theory of Categories, Sijthoff & Noordhoff, (lire en ligne), p. 3.
  2. Pour plus de détails, voir par exemple (en) Maurice Auslander (de) et David Buchsbaum (de), Groups, Rings, Modules, Dover, (1re éd. 1974) (lire en ligne), p. 85-86.
  3. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], p. IV.11 et 12 (exemple 1).

Voir aussi

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