Moyenne quadratique

La moyenne quadratique d'un multiensemble de nombres est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés de ces nombres.

Notation

Soit une famille finie de nombres. La moyenne quadratique de x est alors notée (comme les moyennes de façon générale), Q(x), ou encore (notation d'usage courant en physique, où ⟨ ⟩ désigne la moyenne arithmétique). On trouve également fréquemment RMS, abréviation de l'anglais root mean square, littéralement « racine [du] carré moyen ».

Définition

Soit une famille finie de nombres. La moyenne quadratique de x vaut alors :

En analyse fonctionnelle et en théorie de la mesure, la convergence en moyenne quadratique est définie comme la convergence d'une suite au sens de la norme de L2.

Continuité en moyenne quadratique d'un processus spatial

Définition  Un processus du second ordre X sur un ensemble spatial S ⊂ ℝd est continu en moyenne quadratique si pour toute suite de S convergente sns, E(X(sn)X(s))2 → 0.

Caractérisation  Un processus de L2 centré est continu en moyenne quadratique partout ssi sa covariance est continue sur la diagonale de son ensemble spatial.

La continuité sur la diagonale signifie que C(s, s) est continue pour tout s dans l'ensemble spatiale, où C est la covariance.

Théorème  Si un processus gaussien intrinsèque de variogramme γ vérifie γ(h)  ≤  |log∥h∥|−(1+ε) au voisinage de l'origine, alors il est continu presque sûrement.

C'est le cas pour tous les modèles standards de variogramme, sauf le modèle à effet de pépite.

Théorème  Un processus intrinsèque est continu en moyenne quadratique si son variogramme est continu à l'origine.

Un processus stationnaire de second ordre est continu en moyenne quadratique si sa covariance est continue à l'origine.

Différentiabilité en moyenne quadratique d'un processus monodimensionnel

Définition  Un processus spatial X sur un ensemble spatial monodimensionnel S ⊂ ℝ est différentiable en moyenne quadratique en s s'il existe Xs telle que.

Propriété  Si la covariance C d'un processus X de L2 centré est telle que la dérivée seconde croisée D(s, t) = 2stC(s, t) existe et est finie pour tout s = t, alors X est différentiable en moyenne quadratique partout, D existe partout et la covariance du processus dérivé est Cov((s), (t)) = D(s,t).

Dérivée  Un champ X sur est différentiable en moyenne quadratique si la dérivée seconde γ″(0) du variogramme existe. Dans ce cas, γ″ existe partout et X est stationnaire de covariance γ″ ; X(s) et (s) sont non corrélés pour tout s, et indépendants si X est gaussien.

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Écart-type

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